линейная-алгебра - Доказать неравенство для положительных чисел

Легко доказать неравенство $$\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{(x+z)^2}{y+t},y,t>0.$$ Тогда $$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d} +\frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b} >= 2\Leftrightarrow\frac{a^2}{a(b+c)} +\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)} >=2.$$ Далее $$\frac{a^2}{a(b+c)} +\frac{b^2}{b(c+d)} +\frac{c^2}{c(d+a)} +\frac{d^2}{d(a+b)} >=\frac{(a+b)^2}{ab+ac+bc+bd}+\frac{(c+d)^2}{cd+ca+da+db}\ge$$$$\ge\frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ad+bc+cd+2ac+2bd}\ge2\Leftrightarrow(a+b+c+d)^2\ge2(ab+ad+bc+cd+2ac+2bd).$$ Последнее неравенство легко проверить.