$$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d} +\frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b} >= 2$$

задан 10 Дек '12 21:20

изменен 10 Дек '12 21:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Легко доказать неравенство $$\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{t}\ge\frac{(x+z)^2}{y+t},y,t>0.$$ Тогда $$\frac{a}{b+c} +\frac{b}{c+d} +\frac{c}{d+a} +\frac{d}{a+b} >= 2\Leftrightarrow\frac{a^2}{a(b+c)} +\frac{b^2}{b(c+d)}+\frac{c^2}{c(d+a)}+\frac{d^2}{d(a+b)} >=2.$$ Далее $$\frac{a^2}{a(b+c)} +\frac{b^2}{b(c+d)} +\frac{c^2}{c(d+a)} +\frac{d^2}{d(a+b)} >=\frac{(a+b)^2}{ab+ac+bc+bd}+\frac{(c+d)^2}{cd+ca+da+db}\ge$$$$\ge\frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ad+bc+cd+2ac+2bd}\ge2\Leftrightarrow(a+b+c+d)^2\ge2(ab+ad+bc+cd+2ac+2bd).$$ Последнее неравенство легко проверить.

ссылка

отвечен 11 Дек '12 12:52

изменен 11 Дек '12 12:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×740
×329

задан
10 Дек '12 21:20

показан
556 раз

обновлен
11 Дек '12 12:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru