5
1

Бесконечная последовательность неотрицательных чисел $%x_1,x_2,x_3,...$% такова, что $%x_{n+3}\le\frac{x_n+x_{n+1}+x_{n+2}}3$% для всех натуральных n.

Доказать, что эта последовательность имеем конечный предел.

задан 3 Ноя '16 1:49

10|600 символов нужно символов осталось
4

Последовательность неотрицательных чисел $%x_1,x_2,x_3, ...$% такова, что :

$%x_{m+k} \le \dfrac{x_{m}+x_{m+1}+...+x_{m+k-1}}{k}.$% Доказать, что эта последовательность имеет конечный предел.

Построим подпоследовательности $%b_i$% и $%a_i$% следующим образом :

$%b_1 -$% максимум среди первых $%k$% элементов последовательности.

$%b_2 -$% максимум среди $%k$% элементов последовательности следующих за $%b_1.$%

$%b_{3}-$% максимум среди $%k$% элементов последовательности следующих за $%b_2.$%

$%...$%

Очевидно , что : $%b_{m} \ge b_{m+1}$%

$%a_1 -$% минимум среди всех элементов последовательности расположенных между $%b_1$% и $%b_2.$%

$%a_2 -$% минимум среди всех элементов последовательности расположенных между $%b_2$% и $%b_3.$%

$%...$%

Тогда : $%b_{m+1} \le \dfrac{(k-1)b_m+a_m}{k}$%, т.е. $%b_m \ge a_m \ge k \cdot b_{m+1}- (k-1)b_m$%

Последовательность $%b_i -$% невозрастающая и ограниченная, поэтому по т. Вейерштрасса она имеет конечный предел $%A.$%

$$\forall \epsilon >0 \ \exists \ N=N_{\epsilon}: \ \forall \ n>N_{\epsilon} \Rightarrow (A < b_n < A+ \epsilon) $$

$$ A - (k-1) \epsilon < k \cdot b_{n+1}-(k-1)b_n< a_n < b_n < A+\epsilon $$

Получили :

$$\forall \epsilon >0 \ \exists \ N=N_{\epsilon}: \ \forall \ n>N_{\epsilon} \Rightarrow (A < b_n < A+ \epsilon)\ \wedge\ \ (A-(k-1)\epsilon< a_n < A+\epsilon)$$

т.е. последовательность $%x_i$% сходится к $%A.$%

ссылка

отвечен 5 Ноя '16 1:14

изменен 5 Ноя '16 1:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,132
×687
×100

задан
3 Ноя '16 1:49

показан
447 раз

обновлен
5 Ноя '16 1:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru