Как найти все пары чисел a, b, для каждой из которых имеет не менее пяти решений система уравнений?

$$\begin{cases}bx(2x-y)+(y-1)(2x-y)=bx+y-1\\4x^2+y^2+axy=1\end{cases}$$

задан 11 Дек '12 20:36

изменен 11 Дек '12 21:36

Проверьте условие. Для чего во втором уравнении системы поставлены скобки?

(11 Дек '12 21:13) Anatoliy

они там не нужны

(11 Дек '12 21:40) кто
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} bx+y-1=0\\ 2x-y-1=0 \end{aligned}\right.\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} y=-bx+1\\ y=2x-1 \end{aligned}\right.\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \begin{cases} y=2x-1\\4x^2+(2x-1)^2+ax(2x-1)=1 \end{cases} \\ \begin{cases} \\y=-bx+1 \\ 4x^2+(1-bx)^2+ax(1-bx)=1 \end{cases}\end{aligned}\right.$$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \begin{cases} y=2x-1\\(8+2a)x^2-(4+a)x=0 \end{cases} \\ \begin{cases} \\y=-bx+1 \\ (4+b^2-ab)x^2+(a-2b)x=0 \end{cases}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} \begin{cases} y=2x-1\\x((8+2a)x-(4+a))=0 \end{cases} \\ \begin{cases} \\y=-bx+1 \\ x((4+b^2-ab)x+(a-2b))=0 \end{cases}\end{aligned}\right.$$ Отсюда ясно, что первая система (значит и совокупнисть)имеет бесконечное число решений при $%a=-4,$% а вторая при $%(a-2b=0 ; 4+b^2-ab=0)\Leftrightarrow b=2;a=4$%

ссылка

отвечен 12 Дек '12 18:02

благодарю))

(12 Дек '12 18:05) кто

Я тоже. Но идея решения дал @chameleon

(12 Дек '12 18:08) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
3

$$\begin{cases} bx(2x-y)+(y-1)(2x-y)=bx-y-1\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} (bx+y-1)(2x-y-1)=0\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} bx+y-1=0\\ 2x-y-1=0 \end{aligned}\right.\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases}$$

$$\left[\begin{aligned} \begin{cases} bx+y-1=0\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases}\\ \begin{cases} 2x+y-1=0\\ 4x^2+(y^2+axy)=1 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

$%bx+y-1,2x+y-1$% - линии, $%4x^2+(y^2+axy)=1$% - кривая второго порядка (при $%a\neq\pm4$%). Следовательно, система уравнений имеет не больше 4 решений. 5 и больше решений может быть только при $%a=\pm4$%, когда $%4x^2+(y^2+axy)=1$% вырождается в две параллельные прямые $%2x\pm y-1=0$%. При а=-4 (и любом b) система имеет бесконечное количество решений ($%x=x_0,y=1-2x_0$%), что удовлетворяет условию. При а=4 система имеет не более двух решений.

Ответ: a=-4, b - любое.

ссылка

отвечен 11 Дек '12 21:34

изменен 11 Дек '12 21:43

неправильно, при a=-4, b-любое.

(11 Дек '12 21:38) кто

поспешил я, людей насмешил ))

(11 Дек '12 21:43) chameleon

со всеми бывает

(11 Дек '12 21:46) кто

но все-таки это еще не весь ответ, опять торопитесь

(11 Дек '12 21:47) кто

$%(a=-4;b\in R),(a=4;b=2)$%

(11 Дек '12 22:17) ASailyan

эмммм... что-то не понимаю, каким образом подходит второй вариант?

(12 Дек '12 16:17) chameleon

А вы поставьте а=4 и b=2 в первую систему совакупности.Она имеет бесконечное число решений.

(12 Дек '12 17:07) ASailyan

ASailyan, как вы получили 4 и 2??? ответ мне известен. мне интересен ход решения

(12 Дек '12 17:20) кто

Я проверила рассуждения @chameleon решив совокупность и нашла $%a=4;b=2$%.

Сейчас напишу как ответ( так легко редактировать ).

(12 Дек '12 17:39) ASailyan
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551
×517

задан
11 Дек '12 20:36

показан
2347 раз

обновлен
12 Дек '12 18:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru