геометрия - Призма, вписанная в сферу

Пусть сторона основания призмы равна $%a$%, высота - $%h$%, тогда площадь полной поверхности призмы равна $%S_p(a)=2S_{osn}+S_b=3\sqrt{3}a^2+12a\sqrt{1-a^2},0< a<1.$% Исследуем данную функцию на наибольшее и наименьшее значение, $%(S_p(a))^{'}=(3\sqrt{3}a^2+12a\sqrt{1-a^2})^{'}=6\sqrt{3}a+12\sqrt{1-a^2}-12\frac{a^2}{\sqrt{1-a^2}}=6\sqrt{3}a+12\frac{1-2a^2}{\sqrt{1-a^2}}.$%$$(S_p(a))^{'}=0\Leftrightarrow a\sqrt{3-3a^2}=4a^2-2\Rightarrow (3-3a^2)a^2=16a^4-16a^2+4\Rightarrow a^2=\frac{19+\sqrt{57}}{38}.$$

$%0,25<\frac{19+\sqrt{57}}{38}<0.81;0,5<\sqrt{\frac{19+\sqrt{57}}{38}}<0,9;(S_p(0,5))^{'}>0;(S_p(0,9))^{'}<0.$% При $%a=\sqrt{\frac{19+\sqrt{57}}{38}}$% - наибольшее значение.