let Y_1,...,Y_n ~ U(0,u) be a mathematical sample where u=(1,+infinity) is unknown. Suppose that you are only given the observations X_i=Y_i, if Y_i>=1; or X_i=1, if Y_i<1.

1)For a_1=E_u[X_1] derive a moment estimator û_n from a_1(û_n)=â_1

2)Find the asymptotic distribution of û_n

We know that â_j=1/n(sum X_i (from 1 to n))

Спасибо вам большое за вашу помощь. Еще вот с этой задачей помогите пожалуйста. Я не понимаю как это сделать . Подскажите как ее решить.

задан 9 Ноя '16 23:53

изменен 10 Ноя '16 4:42

не понимаю как это является следствием центральной предельной теоремы. - Larry Wasserman "All of Statistics" стр. 96 ... читать страницу целиком!!!...

(12 Ноя '16 15:10) all_exist

То есть a_1(û_n)=(V^2+1)/(2V) имеет нормальное распределение с параметрами ((u^2+1)/(2u), (q^2)/2) Так?

(12 Ноя '16 15:59) Anton1988

То есть q^2/n Верно?

(12 Ноя '16 16:07) Anton1988

Вы не доверяете Larry Wasserman?...

(12 Ноя '16 16:31) all_exist

а как найти распределение (n)^(1/2)(a_1(û_n)-a_1(u)) . к чему это стремится по распределению?

(12 Ноя '16 17:39) Anton1988

Вы похоже не прочитали стр. 96 целиком!!!!... (((

(12 Ноя '16 17:45) all_exist

я все разобрал. спасибо большое!

(12 Ноя '16 18:17) Anton1988
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну, что-то такое получается...

Есть СВ $%Y \sim U(0;u)$%, где параметр $%u > 1$% ... рассматривается СВ $%X=\max\{1;Y\}$% ... Вычислим моменты для икса... $$ a_1=E(X)=\int_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{u}\cdot dx+\int_{1}^{u} x \cdot \frac{1}{u}\cdot dx = \frac{u^2+1}{2\cdot u}, $$ $$ E(X^2)=\int_{0}^{1} 1^2 \cdot \frac{1}{u}\cdot dx+\int_{1}^{u} x^2 \cdot \frac{1}{u}\cdot dx = \frac{u^3+2}{2\cdot u}, $$ следовательно, $$ \sigma^2=D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{(u-1)^3\cdot(u+3)}{12\cdot u^2} $$

Для построения оценки по первому моменту будем для краткости использовать следующие обозначения:
1) то что у Вас обозначено $%\hat{a}_1=\frac{\sum X_i}{n}$% я привык обозначать $%\overline{X}$% ...
2) искомую оценку у Вас обозначают $%\hat{u}$%... но чтобы не маяться с набором "домика" буду просто писать $%V$% ...

Итак $$ a_1(V)=\hat{a}_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{V^2+1}{2\cdot V} = \overline{X} \quad\Rightarrow\quad
V^2-2\cdot \overline{X}\cdot V+1=0 $$ После решения выбираем корень, соответствующий условию $%V > 1$%... то есть получаем оценку параметра по методу моментов $$ V=\overline{X} + \sqrt{\Big(\overline{X}\Big)^2-1} = g\Big(\overline{X}\Big) $$

В учебнике Larry Wasserman "All of Statistics" на стр. 98 есть теорема 6.13 (The Delta Method), которая гласит следующее...

Поскольку известно, что:
1) $%\overline{X}$% является асимптотически нормальной величиной, то есть она сходится по распределению к $%N\Big(a_1;\frac{\sigma^2}{n}\Big)$%...
2) функция $%g(\xi)=\xi+\sqrt{\xi^2-1}$% дифференцируема при $%\xi > 1$%...
то делаем вывод, что $%V=g\Big(\overline{X}\Big)$% тоже является асимптотически нормальной величиной, то есть будет сходится по распределению к $%N\Big(g(a_1);\frac{\sigma^2\cdot (g'(a_1))^2}{n}\Big)$% ...

Очевидно, что $%g(a_1) = u$%... а величина $$ \sigma_u^2 = \frac{\sigma^2\cdot (g'(a_1))^2}{n} = \frac{u^2\cdot(u-1)\cdot(u+3)}{3\cdot n \cdot (u+1)^2} $$ называется коэффициентом асимптотической нормальности ...

ссылка

отвечен 11 Ноя '16 1:29

изменен 11 Ноя '16 3:31

1)Почему мы рассматриваем случайную величину Х которая равна максимуму всем игрекам?

2)немного не понимаю как вы сделали вывод про распределение Х-среднего, которое упоминаете после слов Поскольку известно, что:.... Как вы поняли какие параметры? Что мы используем чтобы это Получить?.подскажите пожалуйста

(11 Ноя '16 7:39) Anton1988

1)Почему мы рассматриваем случайную величину Х которая равна максимуму всем игрекам? - у Вас так по условию вычисляются иксы по значениям игрека...

Как вы поняли какие параметры? Что мы используем чтобы это Получить? - смотрим в учебник... я использовал известный факт...

(11 Ноя '16 8:23) all_exist

Как вы поняли, что можно использовать метод дельта? Там ведь есть условие,при котором его можно использовать, как вы поняли, что у нас такое же асимптотическое распределение как в той теореме после слов suppose that?

(11 Ноя '16 14:33) Anton1988
1

В моём ответе то, что написано после Поскольку известно, что: является проверкой условий теоремы... а сама фраза Поскольку известно указывает, что это расписано во всех учебниках ... (это про пункт 1)...

(11 Ноя '16 14:51) all_exist

Не понимаю, почему Х это максимум? Ведь Х равен либо У,либо 1

(11 Ноя '16 20:02) Anton1988
1

@Anton1988, по условию X_i=Y_i, if Y_i>=1; or X_i=1, if Y_i<1 ... подставьте сюда $%X=\max\{1;Y\}$%...

(11 Ноя '16 20:35) all_exist

Не понимаю ничего. Почему мах?

(11 Ноя '16 22:21) Anton1988

@Anton1988: я даже не пытался вникнуть в содержание этих задач, но сейчас прочитал последние комментарии. Опустим для удобства нижние индексы. Дана некая величина Y. По ней строится X, по такому правилу: если Y>=1, то полагаем X=Y; если Y<1, то полагаем X=1. Это и значит, что X=max(1,Y), так как в обоих случаях в качестве X берётся максимальное из двух чисел. В первом случае это Y, в втором 1. Что тут может быть непонятного?

(11 Ноя '16 22:34) falcao

$$ if\;\; Y\ge 1\;\;\Rightarrow\;\;\max\{1;Y\}=Y $$ $$ if\;\; Y< 1\;\;\Rightarrow\;\;\max\{1;Y\}=1 $$ Это верно?...

(11 Ноя '16 22:35) all_exist
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,472
×85

задан
9 Ноя '16 23:53

показан
579 раз

обновлен
12 Ноя '16 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru