|
Как доказать, что функция $$f(x;y)$$ имеющая ограниченные частные производные $$\frac{df}{dx} и \frac{df}{dy}$$в некоторой выпуклой области G, равномерно непрерывна в этой области. задан 13 Дек '12 20:29 
s1ny |
|
$$|f(x+\Delta x;y+\Delta y)-f(x;y)|=|f(x+\Delta x;y+\Delta y)-f(x;y+\Delta y)+f(x;y+\Delta y)-f(x;y)|=$$$$=|f_{x}^{'}(c;y+\Delta y)\Delta x+f_{y}^{'}(x;d)\Delta y|\le|M_1||\Delta x|+|M_1||\Delta y|.$$ $$(\forall \varepsilon>0,\forall(x_1;y_1),(x_2;y_2),|x_2-x_1|<\frac{\varepsilon}{2M_1},|y_2-y_1|<\frac{\varepsilon}{2M_2})\Rightarrow|f(x_2;y_2)-f(x_1;y_1)|<\varepsilon.$$ Это означает, что функция равномерно непрерывна в указанной области. отвечен 13 Дек '12 21:06 
Anatoliy Можно немного подробнее объяснить , если не сложно?
(13 Дек '12 22:56)
s1ny
@Ggff, гляньте решение из антидемидовича. Выпуклость использована более чётко. Но, по-моему не хватает доказательства непрерывности f по совокупности аргументов. Доказательство @Anatoliy, как минимум эту непрерывность даёт. А вот насчёт равномерной непрерывности в его доказательстве я не уверен. Чтобы, например, $%(x;y+\Delta y)\in G$% -- это надо выбирать подходящее дельта для каждой отдельно взятой точки. P.S. Непрерывная равномерность -- это конечно сильно. Особенно если учесть, что в тексте вопроса всё с этим правильно.
(11 Окт '21 5:39)
caterpillar
|
