Построить бесконечную последовательность различных пар $%(x, y)$%, где $%x, y \in \mathbb{N}$% таких, что $%x \geq y$%, $%x^4 + 1$% делится на $%y$% и $%y^4 + 1$% делится на $%x$%.

задан 11 Ноя '16 12:05

@no_exception: формально подходят пары (1,1), (2,2), ... , (n,n), ... . Их бесконечно много, они различны, равенство x=y в условии допускается. Видимо, что-то надо изменить.

(11 Ноя '16 16:04) falcao
1

@falcao, не понимаю. $%2^4 + 1 = 17$% не делится на 2. Ну и вообще, $%n^4 + 1$% не делится на $%n$%, кроме $%n = 1$%

(11 Ноя '16 16:20) no_exception

@no_exception: да, разумеется. Это я на что-то не то подумал. Сорри.

(11 Ноя '16 16:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$x_1=1,y_1=1;$$ $$x_{n+1}=\frac{x_n^4+1}{y_n},y_{n+1}=x_n.$$ Проверим,что $%(x_{n+1}^4+1)\vdots y_{n+1}$% и $%(y_{n+1}^4+1)\vdots x_{n+1}.$%

Сначала заметим, что $%(x_n,{y_n})=1$%. Действительно, $$(x_{n+1},y_{n+1})\le|y_n\cdot x_{n+1}-x_n^3\cdot y_{n+1}|=y_n\cdot\frac{x_n^4+1}{y_n}-x_n^3\cdot x_n=1.$$ Теперь $$\left(\frac{x_n^4+1}{y_n}\right)^4+1=\frac{x_n(x_n^{15}+4x_n^{11}+6x_n^7+4x_n^3)+(y_n^4+1)}{y_n^4}\vdots x_n,$$ $$y_{n+1}^4+1=(x_n^4+1)\vdots \frac{x_n^4+1}{y_n}.$$

ссылка

отвечен 11 Ноя '16 18:09

изменен 11 Ноя '16 18:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×275

задан
11 Ноя '16 12:05

показан
615 раз

обновлен
11 Ноя '16 18:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru