алгебра - Сколько решений имеет уравнение?

$%\{(x+1)^3\}=x^3\Leftrightarrow (x+1)^3-[(x+1)^3]=x^3\Leftrightarrow (x+1)^3-x^3=[(x+1)^3]\Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow 3x^2+3x+1=[(x+1)^3].$% $%(a)$%

Из уравнения следует,что $%0\le x^3<1\Leftrightarrow x\in [0;1).$% Тогда $%1\le x+1<2\Leftrightarrow 1\le (x+1)^3<8 \Leftrightarrow [(x+1)^3]\in [1;8)\Leftrightarrow [(x+1)^3]\in \{1;2;3;4;5;6;7\}$%. Подсавим эти значения в уравнение (a),решения будут те значения $%x,$% которые принадлежат $%[0;1).$% Эти решения соответственно будут $%x=0;x=\frac{\sqrt{21}-3}{6};x=\frac{\sqrt{33}-3}{6};x=\frac{\sqrt{5}-1}{2};x=\frac{\sqrt{57}-3}{6};x=\frac{\sqrt{69}-3}{6}.$% При $%[(x+1)^3]=7,$% получаем $%x=1,$%который не удолетворяет.

Ответ. $%6.$%