Задача: наудачу выбираются два числа из промежутка [0, 1]. Определить вероятность того, что одно число будет более чем вдвое меньше другого.

Мое решение:

$%x, y$% принадлежит $%[0, 1]$%

$%P(y < x/2) = x/2;$%

$%P(y > 2x) = P(A) * P(B) = (1 - 2x) * 1/2 = 1/2 - x$%

$%A=\{'x'$% не превысит середину отрезка, т.е. $%'x'$% принадлежит $%[0, 5]\}$%

$%B=\{'y'$% попадет в интервал $%[2x; 1]\}$%

$%C=\{'y'$% вдвое меньше или больше $%'x'\}$%

$%P(C) = P(y < x/2) + P(y > 2x) = x/2 + 1/2 - x = (1-x)/2$%

Однако, думаю, что задачу можно решить с получением конкретного значения, не зависящего от 'x'. Кто-нибудь может помочь?

задан 14 Дек '12 17:37

изменен 14 Дек '12 20:48

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Ответ $% P=\large\frac{1}{2}$%

(14 Дек '12 18:16) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

Искомая вероятность равна удвоенной ( числа $%x$% и $%y$% равноправны) площади треугольника $%O1A$%, т.е. $%\frac{1}{2}.$%

ссылка

отвечен 14 Дек '12 18:13

изменен 14 Дек '12 18:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

Доброго вечера. Anatoliy, там, наверное, имелись в виду "оба" треугольника)) Т.е. 1-ое число (x) "более чем вдвое" меньше 2-ого (y) - для точек "выше" прямой $%y = 2x$%; а потом так же: 2-ое число (y) вдвое меньше 1-ого (x) - на прямой $%y = x/2$%, и "более чем вдвое меньше" - для точек ниже этой прямой ($%y <= x/2$%), т.е. еще один треугольник (образованный сторонами квадрата и прямой $%y = x/2$%). И $%p = 1/2$%.

Как решить - понятно.. А как внятно объяснить, почему решение Weikedo неверное ? (а оно неверное =))

ссылка

отвечен 14 Дек '12 18:27

изменен 14 Дек '12 19:07

Да, это имелось ввиду. Геометрическую вероятность нужно находить, используя геометрический подход.

(14 Дек '12 18:31) Anatoliy

Кажется, поняла. Неправильно было потому, что была попытка найти вероятность (например, для одного случая) $%y<=x/2$% - для конкретного, фиксированного x - а не "сумму вероятностей для всех x" (ту же площадь..)

(14 Дек '12 19:06) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
0

Будем решать задачу в общем виде. Пусть одно из выбранных чисел в n раз больше другого. Тогда, при наличии двух чисел, заданный промежуток делится на два подпромежутка: 1)подпромежуток существования меньшего числа $%A_1$% и 2) подпромежуток существования большего числа $%A_2$%. Длина первого подпромежутка $$L_1 = 1/n$$, длина второго - $$L_2 = 1 – 1/n$$. Так как $$L_1 + L_2 = 1$$, а сумма вероятностей появления обоих чисел тоже равна единице $$P_1 + P_2 = 1$$, то в данном конкретном случае (а именно: когда длина экспериментального промежутка равна единице), не нарушая законов логики, мы можем принять: искомая вероятность P равна: $%L_1/L_2 = 1/(n – 1)$% . Отсюда следует, что, если числа равны между собою, то $%P = 1$%; если одно из чисел вдвое больше другого, то $%P = ½$%; и т. д. в соответствии с последовательно убывающими числами гармонического ряда. Странно, что общей суммы всех этих экспериментальных вероятностей не существует, так как ряд расходится. Странно! Как будто задача не имеет никакого отношения к теории вероятностей.

ссылка

отвечен 16 Дек '12 19:48

Скорее, решение не имеет отношения к теории вероятностей. И к законам логики.
Что это за "промежутки", с какими вероятностями они связаны?
Что за вероятности $%P_1, P_2$%, что они показывают? В данной задаче рассматривается двумерная величина, и плотность вероятности у нее, соответственно, двумерная, заданная на квадрате.

(16 Дек '12 22:52) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,189
×149
×12

задан
14 Дек '12 17:37

показан
5215 раз

обновлен
16 Дек '12 22:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru