|
Задача: наудачу выбираются два числа из промежутка [0, 1]. Определить вероятность того, что одно число будет более чем вдвое меньше другого. Мое решение: $%x, y$% принадлежит $%[0, 1]$% $%P(y < x/2) = x/2;$% $%P(y > 2x) = P(A) * P(B) = (1 - 2x) * 1/2 = 1/2 - x$% $%A=\{'x'$% не превысит середину отрезка, т.е. $%'x'$% принадлежит $%[0, 5]\}$% $%B=\{'y'$% попадет в интервал $%[2x; 1]\}$% $%C=\{'y'$% вдвое меньше или больше $%'x'\}$% $%P(C) = P(y < x/2) + P(y > 2x) = x/2 + 1/2 - x = (1-x)/2$% Однако, думаю, что задачу можно решить с получением конкретного значения, не зависящего от 'x'. Кто-нибудь может помочь? задан 14 Дек '12 17:37 
Veikedo |
|
Искомая вероятность равна удвоенной ( числа $%x$% и $%y$% равноправны) площади треугольника $%O1A$%, т.е. $%\frac{1}{2}.$% отвечен 14 Дек '12 18:13 
Anatoliy |
|
Доброго вечера. Anatoliy, там, наверное, имелись в виду "оба" треугольника)) Т.е. 1-ое число (x) "более чем вдвое" меньше 2-ого (y) - для точек "выше" прямой $%y = 2x$%; а потом так же: 2-ое число (y) вдвое меньше 1-ого (x) - на прямой $%y = x/2$%, и "более чем вдвое меньше" - для точек ниже этой прямой ($%y <= x/2$%), т.е. еще один треугольник (образованный сторонами квадрата и прямой $%y = x/2$%). И $%p = 1/2$%. Как решить - понятно.. А как внятно объяснить, почему решение Weikedo неверное ? (а оно неверное =)) отвечен 14 Дек '12 18:27 
ЛисаА Да, это имелось ввиду. Геометрическую вероятность нужно находить, используя геометрический подход.
(14 Дек '12 18:31)
Anatoliy
Кажется, поняла. Неправильно было потому, что была попытка найти вероятность (например, для одного случая) $%y<=x/2$% - для конкретного, фиксированного x - а не "сумму вероятностей для всех x" (ту же площадь..)
(14 Дек '12 19:06)
ЛисаА
|
|
Будем решать задачу в общем виде. Пусть одно из выбранных чисел в n раз больше другого. Тогда, при наличии двух чисел, заданный промежуток делится на два подпромежутка: 1)подпромежуток существования меньшего числа $%A_1$% и 2) подпромежуток существования большего числа $%A_2$%. Длина первого подпромежутка $$L_1 = 1/n$$, длина второго - $$L_2 = 1 – 1/n$$. Так как $$L_1 + L_2 = 1$$, а сумма вероятностей появления обоих чисел тоже равна единице $$P_1 + P_2 = 1$$, то в данном конкретном случае (а именно: когда длина экспериментального промежутка равна единице), не нарушая законов логики, мы можем принять: искомая вероятность P равна: $%L_1/L_2 = 1/(n – 1)$% . Отсюда следует, что, если числа равны между собою, то $%P = 1$%; если одно из чисел вдвое больше другого, то $%P = ½$%; и т. д. в соответствии с последовательно убывающими числами гармонического ряда. Странно, что общей суммы всех этих экспериментальных вероятностей не существует, так как ряд расходится. Странно! Как будто задача не имеет никакого отношения к теории вероятностей. отвечен 16 Дек '12 19:48 
nikolaykruzh... Скорее, решение не имеет отношения к теории вероятностей. И к законам логики.
(16 Дек '12 22:52)
DocentI
|
Ответ $% P=\large\frac{1}{2}$%