Сколько существует различных натуральных значений n, при которых функция $%f(x) = cosn x * sin 15x/n$% имеет период $%4\pi$% ?

задан 14 Дек '12 20:30

изменен 14 Дек '12 20:45

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Домашнее задание". Закрывший - ХэшКод 14 Дек '12 20:44

0

1) Пусть $% 4\pi$% период функции $%f(x),$% тогда $%f(-2\pi)=f(2\pi)\Leftrightarrow cos(-2\pi n)sin(-\frac{30\pi }{n})=cos(2\pi n)sin(\frac{30\pi}{n})\Leftrightarrow$%

$%\Leftrightarrow 2sin\frac{30\pi}{n}=0 \Leftrightarrow \frac{30\pi}{n}=\pi k \Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow \frac{30}{n}=k (k,n\in N).$% Значит $%n$% является делителем 30.

И так если $% 4\pi$% период функции $%f(x),$% то $%n$% является делителем 30.

2) Теперь докажем обратное: если то $%n$% является делителем $%30$%, то $% 4\pi$% является периодом функции $%f(x).$% Пусть $%n\in\{1,2,3,5,6,10,15,30\},$% тогда $%n=\frac{30}{k}(k\in N).$%

$%f(x+4\pi)=cosn(x+4\pi)sin\frac{15(x+4\pi)}{n}=$% $%=cos(x+4\pi n)sin(\frac{15x}{n}+\frac{60\pi}{n})=cosxsin(\frac{15x}{n}+2\pi k)=$%

$%=cosxsin(\frac{15x}{n})=f(x), x\in R. \Rightarrow 4\pi$% период функции.

И так чтобы число $%4\pi$% было периодом функции $%f(x)$% необходимо и достаточно чтобы $%n$% был делителем числа $%30. (n\in\{1,2,3,5,6,10,15,30\})$%

                                                                   Ответ. 8
ссылка

отвечен 15 Дек '12 13:17

изменен 16 Дек '12 1:16

спасибо.У меня получилось 11 Давай полумаем вместе

(15 Дек '12 18:27) ilia

я считаю что необходимо рассматривать делители 60 тк 15 4 пи = 60пи. что такое период это когда при начальном значении аргумента ( пусть он будет равен 0 и через период те 4 пи) функция принимает одинаковые значения. К примеру если n = 20 то Sin(154пи/20)=sin(3пи)=0 и sin(15*0/n)=0

(15 Дек '12 18:55) ilia

Это необходимо, но недостаточно. Равенство должно выполняться для любых "начальных значений", а не только для 0.

(16 Дек '12 14:39) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×765

задан
14 Дек '12 20:30

показан
1550 раз

обновлен
16 Дек '12 14:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru