тригонометрия - Количество n, при которых функция имеет заданный период [закрыт]

1) Пусть $% 4\pi$% период функции $%f(x),$% тогда $%f(-2\pi)=f(2\pi)\Leftrightarrow cos(-2\pi n)sin(-\frac{30\pi }{n})=cos(2\pi n)sin(\frac{30\pi}{n})\Leftrightarrow$%

$%\Leftrightarrow 2sin\frac{30\pi}{n}=0 \Leftrightarrow \frac{30\pi}{n}=\pi k \Leftrightarrow $%

$%\Leftrightarrow \frac{30}{n}=k (k,n\in N).$% Значит $%n$% является делителем 30.

И так если $% 4\pi$% период функции $%f(x),$% то $%n$% является делителем 30.

2) Теперь докажем обратное: если то $%n$% является делителем $%30$%, то $% 4\pi$% является периодом функции $%f(x).$% Пусть $%n\in\{1,2,3,5,6,10,15,30\},$% тогда $%n=\frac{30}{k}(k\in N).$%

$%f(x+4\pi)=cosn(x+4\pi)sin\frac{15(x+4\pi)}{n}=$% $%=cos(x+4\pi n)sin(\frac{15x}{n}+\frac{60\pi}{n})=cosxsin(\frac{15x}{n}+2\pi k)=$%

$%=cosxsin(\frac{15x}{n})=f(x), x\in R. \Rightarrow 4\pi$% период функции.

И так чтобы число $%4\pi$% было периодом функции $%f(x)$% необходимо и достаточно чтобы $%n$% был делителем числа $%30. (n\in\{1,2,3,5,6,10,15,30\})$%

                                                                   Ответ. 8