Сколько существует различных натуральных значений n, при которых функция $%f(x) = cosn x * sin 15x/n$% имеет период $%4\pi$% ? задан 14 Дек '12 20:30 ilia |
Вопрос был закрыт. Причина - "Домашнее задание". Закрывший - ХэшКод 14 Дек '12 20:44
1) Пусть $% 4\pi$% период функции $%f(x),$% тогда $%f(-2\pi)=f(2\pi)\Leftrightarrow cos(-2\pi n)sin(-\frac{30\pi }{n})=cos(2\pi n)sin(\frac{30\pi}{n})\Leftrightarrow$% $%\Leftrightarrow 2sin\frac{30\pi}{n}=0 \Leftrightarrow \frac{30\pi}{n}=\pi k \Leftrightarrow $% $%\Leftrightarrow \frac{30}{n}=k (k,n\in N).$% Значит $%n$% является делителем 30. И так если $% 4\pi$% период функции $%f(x),$% то $%n$% является делителем 30. 2) Теперь докажем обратное: если то $%n$% является делителем $%30$%, то $% 4\pi$% является периодом функции $%f(x).$% Пусть $%n\in\{1,2,3,5,6,10,15,30\},$% тогда $%n=\frac{30}{k}(k\in N).$% $%f(x+4\pi)=cosn(x+4\pi)sin\frac{15(x+4\pi)}{n}=$% $%=cos(x+4\pi n)sin(\frac{15x}{n}+\frac{60\pi}{n})=cosxsin(\frac{15x}{n}+2\pi k)=$% $%=cosxsin(\frac{15x}{n})=f(x), x\in R. \Rightarrow 4\pi$% период функции. И так чтобы число $%4\pi$% было периодом функции $%f(x)$% необходимо и достаточно чтобы $%n$% был делителем числа $%30. (n\in\{1,2,3,5,6,10,15,30\})$%
отвечен 15 Дек '12 13:17 ASailyan спасибо.У меня получилось 11 Давай полумаем вместе
(15 Дек '12 18:27)
ilia
я считаю что необходимо рассматривать делители 60 тк 15 4 пи = 60пи. что такое период это когда при начальном значении аргумента ( пусть он будет равен 0 и через период те 4 пи) функция принимает одинаковые значения. К примеру если n = 20 то Sin(154пи/20)=sin(3пи)=0 и sin(15*0/n)=0
(15 Дек '12 18:55)
ilia
Это необходимо, но недостаточно. Равенство должно выполняться для любых "начальных значений", а не только для 0.
(16 Дек '12 14:39)
DocentI
|