Как исследовать на дифференцируемость функцию

$$ y =\begin{cases}x^3 & x \leq 0\\e^{-1/x} & x > 0\end{cases} $$

В ответах сказано, что она дифференцируема всюду. Что нужно сделать, чтобы это понять?

задан 17 Янв '12 11:40

изменен 17 Янв '12 12:22

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для начала сосчитаем предел $$\lim_{x \rightarrow +0}\frac { e^{-\frac {1}{x}}}{x}=0 $$ Например, заменой x=-1/z, затем правило Лопиталя.$$$$Дифференцируемость функции следует проверить только в точке (стыковки графиков) x=0. Находим f(0)=0.Вспоминаем определение производной в точке $%x_0=0$% Имеем $$f'(x_0)= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}$$. Докажем, что $%f'(0)=0$%

Значит, надо доказать равенства $$f'(0)= \lim_{x \rightarrow +0} \frac {{ e^{-\frac {1}{x}}}-0} {x}= \lim_{x \rightarrow -0} \frac {x^3-0} {x}=0$$. Одно равенство очевидно, $$\lim_{x \rightarrow -0} \frac {x^3-0} {x}=0$$. А первый предел нами уже рассмотрен. ЧТД.

ссылка

отвечен 17 Янв '12 14:23

изменен 17 Янв '12 14:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Думаю, что надо представлять график функции для начала. Я представляю его как-то так:

alt text

Графики построены с помощью приложения Маткад. Из условия следует, что до x=0 на графике - красная линия, при x>0 график функции - синия штрих-пунктирная линия... теперь про дифференцируемость: если нет разрывов, т.е. график не уходит в бесконечность, и нет никаких скачков (резкого увеличения значения функции), то функция дифференцируема, ну это в простом случае (как ваш, например)... Более сложные ситуации может быть кто-то изложит ещё.

ссылка

отвечен 17 Янв '12 13:29

изменен 17 Янв '12 13:45

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

@sangol Картинка вставляется в сообщение путем нажатия на соответствующую кнопку в редакторе.

(17 Янв '12 13:45) ХэшКод

хорошо, замучал я Вас наверное своими картинками)) третью уже вставляете)) попробую в следующий раз сам сделать

(17 Янв '12 13:49) sangol
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×365
×134
×16

задан
17 Янв '12 11:40

показан
14960 раз

обновлен
17 Янв '12 14:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru