|
Как исследовать на дифференцируемость функцию $$ y =\begin{cases}x^3 & x \leq 0\\e^{-1/x} & x > 0\end{cases} $$ В ответах сказано, что она дифференцируема всюду. Что нужно сделать, чтобы это понять? задан 17 Янв '12 11:40 
studentka |
|
Для начала сосчитаем предел $$\lim_{x \rightarrow +0}\frac { e^{-\frac {1}{x}}}{x}=0 $$ Например, заменой x=-1/z, затем правило Лопиталя.$$$$Дифференцируемость функции следует проверить только в точке (стыковки графиков) x=0. Находим f(0)=0.Вспоминаем определение производной в точке $%x_0=0$% Имеем $$f'(x_0)= \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)-f(x_0)} {x-x_0}$$. Докажем, что $%f'(0)=0$% Значит, надо доказать равенства $$f'(0)= \lim_{x \rightarrow +0} \frac {{ e^{-\frac {1}{x}}}-0} {x}= \lim_{x \rightarrow -0} \frac {x^3-0} {x}=0$$. Одно равенство очевидно, $$\lim_{x \rightarrow -0} \frac {x^3-0} {x}=0$$. А первый предел нами уже рассмотрен. ЧТД. отвечен 17 Янв '12 14:23 
ValeryB |
|
Думаю, что надо представлять график функции для начала. Я представляю его как-то так:
Графики построены с помощью приложения Маткад. Из условия следует, что до x=0 на графике - красная линия, при x>0 график функции - синия штрих-пунктирная линия... теперь про дифференцируемость: если нет разрывов, т.е. график не уходит в бесконечность, и нет никаких скачков (резкого увеличения значения функции), то функция дифференцируема, ну это в простом случае (как ваш, например)... Более сложные ситуации может быть кто-то изложит ещё. отвечен 17 Янв '12 13:29 
sangol @sangol Картинка вставляется в сообщение путем нажатия на соответствующую кнопку в редакторе.
(17 Янв '12 13:45)
ХэшКод
хорошо, замучал я Вас наверное своими картинками)) третью уже вставляете)) попробую в следующий раз сам сделать
(17 Янв '12 13:49)
sangol
|
