Пусть $%A$% и $%B$% - подгруппы группы $%G$%, причем индекс подгруппы $%A$% в группе $%G$% конечен. Тогда пересечение $%A∩B$% является подгруппой конечного индекса группы $%B$%. Более того, $%[B:A∩ B]≤[G:A]$%, причем равенство индексов здесь имеет место тогда и только тогда, когда $%G=AB$%. Как доказать?

задан 14 Дек '12 22:19

изменен 15 Дек '12 10:45

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Может, попробовать так:
Рассмотрим смежные классы $%D_{\alpha} = (A\cap B)c_\alpha$%, порожденные группой $%A\cap B$%. Если один из таких классов пересекается с классом $%Ag_i$%, то он полностью входит в последний. В частности, те классы $%D_{\alpha}$%, которые входят в B, т.е. являются классами смежности подгруппы $%A\cap B$% в $%B$%, являются подмножествами соответствующих классов $%Ag_i$%. Значит, их конечное число.

Их число будет совпадать с числом $%n = [G : A]$%, если каждый класс $%Ag_i$% пересекается с $%B$%. То есть в каждом классе смежности существует элемент $%b_i = a_i\cdot g_i$% (имя элемента соответствует группе). Но любой элемент $%g$% группы $%G$% равен некоторому $%c = a\cdot g_i$%, что равно $%a\cdot a_i^{-1}b_i$%. Это и означает, что $%G = AB.$%

ссылка

отвечен 16 Дек '12 23:42

изменен 16 Дек '12 23:43

спасибо большое!

(16 Дек '12 23:45) Kseniya

Спасибо - вещь хорошая. А еще лучше - принять ответ, если он Вам подходит (галочка слева).

(16 Дек '12 23:54) DocentI

приняла!..

(17 Дек '12 20:15) Kseniya
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%|G:A|=n$%, тогда $%G=A\cup A g_2\cup\ldots\cup Ag_n$% (для некоторых $%g_1=e,g_2,...,g_n\in G$%). Если $%b$% и $%b'$% из $%B$% лежат в одном смежном классе $%Ag_i$%, то $%b^{-1}b'\in A\cap B,$% поэтому пересечения $%Ag_i\cap B$% образуют смежные классы $%B$% по $%A\cap B,$% значит, их не больше чем $%n.$%

Если $%|B:A\cap B|=n,$% то они все непусты. Выберем из каждого по представителю $%b_1=e,b_2,\ldots,b_n.$% Тогда $%A\cup A b_2\cup\ldots\cup Ab_n=G.$%

ссылка

отвечен 16 Дек '12 4:27

изменен 17 Дек '12 9:23

спасибо, но немного не то

(16 Дек '12 19:36) Kseniya

Ясно, что $%b^{-1}b'\in A$%, но почему $%b^{-1}b'\in A\cap B$%?

(16 Дек '12 23:23) DocentI

Предполагалось, что оба из $%B$% (sorry, забыл указать).

(17 Дек '12 7:39) varaksin

@Kseniya, а почему "не то"? Все вроде правильно...

(17 Дек '12 11:29) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×526
×148

задан
14 Дек '12 22:19

показан
960 раз

обновлен
17 Дек '12 20:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru