|
Пусть $%A$% и $%B$% - подгруппы группы $%G$%, причем индекс подгруппы $%A$% в группе $%G$% конечен. Тогда пересечение $%A∩B$% является подгруппой конечного индекса группы $%B$%. Более того, $%[B:A∩ B]≤[G:A]$%, причем равенство индексов здесь имеет место тогда и только тогда, когда $%G=AB$%. Как доказать? задан 14 Дек '12 22:19 
Kseniya |
|
Может, попробовать так: Их число будет совпадать с числом $%n = [G : A]$%, если каждый класс $%Ag_i$% пересекается с $%B$%. То есть в каждом классе смежности существует элемент $%b_i = a_i\cdot g_i$% (имя элемента соответствует группе). Но любой элемент $%g$% группы $%G$% равен некоторому $%c = a\cdot g_i$%, что равно $%a\cdot a_i^{-1}b_i$%. Это и означает, что $%G = AB.$% отвечен 16 Дек '12 23:42 
DocentI спасибо большое!
(16 Дек '12 23:45)
Kseniya
Спасибо - вещь хорошая. А еще лучше - принять ответ, если он Вам подходит (галочка слева).
(16 Дек '12 23:54)
DocentI
приняла!..
(17 Дек '12 20:15)
Kseniya
|
|
Пусть $%|G:A|=n$%, тогда $%G=A\cup A g_2\cup\ldots\cup Ag_n$% (для некоторых $%g_1=e,g_2,...,g_n\in G$%). Если $%b$% и $%b'$% из $%B$% лежат в одном смежном классе $%Ag_i$%, то $%b^{-1}b'\in A\cap B,$% поэтому пересечения $%Ag_i\cap B$% образуют смежные классы $%B$% по $%A\cap B,$% значит, их не больше чем $%n.$% Если $%|B:A\cap B|=n,$% то они все непусты. Выберем из каждого по представителю $%b_1=e,b_2,\ldots,b_n.$% Тогда $%A\cup A b_2\cup\ldots\cup Ab_n=G.$% отвечен 16 Дек '12 4:27 
varaksin спасибо, но немного не то
(16 Дек '12 19:36)
Kseniya
Ясно, что $%b^{-1}b'\in A$%, но почему $%b^{-1}b'\in A\cap B$%?
(16 Дек '12 23:23)
DocentI
Предполагалось, что оба из $%B$% (sorry, забыл указать).
(17 Дек '12 7:39)
varaksin
|