Дана функция $$u = u(x,y,z)$$

  1. вычислить все частные производные первого порядка;
  2. найти производную в точке по направлению вектора$$\overline{a}$$
  3. найти $$\overline{grad} u(M_{0}).$$

$$u=\sqrt{{x^2+2y-z^2}};$$ $$M_{0}(1;2;1);$$ $$ \overline{a}=\overline{i}-2\overline{j}-2\overline{k}.$$

задан 15 Дек '12 14:03

изменен 16 Дек '12 15:55

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Домашнее задание". Закрывший - ХэшКод 16 Дек '12 15:54

0

1) Частные производные по переменной вычисляются в предположении, что остальные переменные являются константами.Производная функции $%u$% по $%x$% ,будет равна дроби $$x/sgrt(x^2+2y-z^2)$$. Аналогично вычисляются остальные производные. 3) Градиент функции в точке - это вектор, координатами которого служат частные производные первого порядка, вычисленные в этой точке.У вас будет (0,5; 1; -0,5 ). 2)Производная в точке по направлению вектора - это сумма произведений частных производных первого порядка в этой точке на направляющие косинусы вектора. Чтобы найти направляющие косинусы вектора, надо его координаты поделить на его длину ( модуль ).В вашем примере модуль вектора $%|a|=3$%.Тогда $%cosA=1/3,cosB=-2/3,cosC=-2/3$%.Тогда производная по направлению равна $%0,51/3-12/3+0,5*2/3$%=$%-1/6$%.

ссылка

отвечен 15 Дек '12 15:22

изменен 15 Дек '12 15:24

Спасибо большое, очень понятно разъяснили. Только один вопрос, $$du/dy=1/sqrt(-z^2+y2+x^2)$$ а $$du/dz=-z/sqrt(-z^2+y2+x^2)$$ ведь так. Тогда $$du/dy=1/sqrt(-(-1)^2+22+1^2)=1/sqrt(4)=1/2$$ a du/dz=-1/sqrt(-(-1)^2+22+1^2)=1/sqrt(4)=-1/2 Ну и так далее. Вопрос в $$ du/dy $$ у вас точно нет ошибки.

(15 Дек '12 21:13) RammeR

Производные по $%y$% и по $%z$% вы нашли правильно.Значение производной по $%y$% в точке равно 0,5 (действительно, я ошиблась). Тогда значение производной в направлении вектора будет $%1/21/3-1/21/3+1/2*1/3=1/6$%.

(15 Дек '12 21:44) nadyalyutik

Спасибо :) Очень помогли. Но опять, вы же правильно нашли $$cosA, cosB и cosC$$ тогда почему 1/21/3-1/21/3+1/21/3=1/6 Вроде как должно быть 1/21/3-1/22/3+1/22/3. Или я не прав...?

(15 Дек '12 21:57) RammeR

Точка имеет координаты (1,2,1).Эти числа подставляются вместо x,y и z в выражения производных. Производная по х будет равна 1/2, по у: 1/2, по z: -1/2. Направляющие косинусы: 1/3, -2/3, -2/3.А теперь составьте сумму произведений соответствующих чисел, получите 1/6.

(15 Дек '12 23:15) nadyalyutik
10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×19

задан
15 Дек '12 14:03

показан
846 раз

обновлен
16 Дек '12 15:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru