Есть два многочлена:
$%x^2+ax+3$%
$%3x^2+5ax+{19a^2}$%
Сразу говорю, что подбирал цифры 'случайно' интересует лишь идея решения данной задачи и решаема ли она вообще:
При каких значениях $%a$%, любые две точки многочленов находятся на расстоянии большем, чем $%\sqrt{29}$%.

задан 16 Ноя '16 2:49

@Williams Wol..., а что такое "точки многочленов"?...

(16 Ноя '16 3:25) all_exist

Любые две координаты (x,y), которые могут принимать многочлены.

(16 Ноя '16 4:05) Williams Wol...

Ещё один маленький вопрос, чтобы не плодить вопросы, я спрошу здесь, может кто и ответ, почему у кубической параболы касание с нулем - это кратный корень? И всегда ли так у полиномов? Кратный корень всегда в квадрате и как это вообще можно доказать?

(16 Ноя '16 4:27) Williams Wol...

@Williams Wol..., Любые две координаты (x,y) - а где в условии $%y$%?... Вы имели ввиду точки на графиках $%y=x^2+\dots$% и $%y=3x^2+\dots$%?...

================================

Ещё один маленький вопрос - Если не произносить умных слов про основную теорему алгебры, то, например, для уравнения
$$x^3 = (x-0)\cdot(x-0)\cdot(x-0) = 0$$ имеем три одинаковых линейных уравнения, которые естественно дают одинаковые корни, что и называют кратными корнями...

(16 Ноя '16 11:02) all_exist

Кратный корень всегда в квадрате и как это вообще можно доказать? - ну, необязательно в квадрате... если при разложении на множители возникает какая-нибудь скобка в степени большей единицы, то у полинома есть кратные корни (в общем случае - комплексные)...

(16 Ноя '16 11:04) all_exist

@Williams Wolfram: "точки многочленов" -- откуда такой жаргон? Так нельзя говорить. Вообще, в математике недопустим никакой "креатив". Когда пишете текст, то "цензурируйте" его на предмет грамотности и правильности. Ведь ясно, что у многочлена нет "точек". А то, что Вы имели в виду, это точка графика многочлена. Всего одно слово, и всё становится корректно.

Я уже молчу про то, что многочлены не могут "принимать координаты" -- это тоже словесный абсурд. Если точка (x,y) принадлежит графику функции, то она **в точке х принимает значение у".

"Язык мой -- враг мой" (с)

(16 Ноя '16 12:32) falcao

По поводу кратных корней, разумеется, что я не имел в виду, что квадрат у корня достаточное условие, что он кратный. А по поводу основной теоремы алгебры, она разве тут поможет? Если я не ошибаюсь, она лишь утверждает о том, что всегда существует корень в комплексной плоскости.

(16 Ноя '16 15:38) Williams Wol...

@Williams Wol..., основная теорема утверждает, что полином $%n$%-ой степени имеет ровно $%n$% корней с учётом их кратности...

Ну, если говорить про один корень, то можно приплести теорему Безу с сотоварищами... Корень - значит можно выделить линейный множитель... затем рассматриваем целую часть от деления и снова выделяем линейный множитель... затем одинаковые множители (соответствующие кратному корню) записываем как степень...

(16 Ноя '16 16:06) all_exist

А, ну я чисто из соображений производной понял, что там что-то: $%(x-x_1)^nP(x) \Rightarrow n(x-x_1)^{n-1}P(x)+(x-x_1)^nP'(x) \Rightarrow (x-x_1)^{n-1}(n+(x-x_1)P'(x)) = 0; x = x_1 $% Ну и получается, что любой кратный корень(четной степени) дает экстремум в нуле и тем самым касается $%ox$%.

(16 Ноя '16 16:35) Williams Wol...
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
3

Для случая кратного корня всё очевидно, только надо точнее формулировать, и опираться на определение. Оно таково: корень $%a$% многочлена $%f(x)$% называется кратным, если $%f(x)$% делится на $%(x-a)^2$%. То, что $%f(x)$% при этом может делиться и на более высокие степени $%x-a$%, можно не принимать во внимание.

Если $%f(x)=(x-a)^2g(x)$%, то $%f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)$%, откуда $%f'(a)=0$%. Это значит, что в точке пересечения графика многочлена с осью $%Ox$% имеет место касание, так как угловой коэффициент касательной равен нулю.

Легко проверяется, что верно и обратное утверждение: если график многочлена в точке $%(a,0)$% касается оси $%Ox$%, то $%a$% является кратным корнем. Действительно, поскольку $%a$% является корнем, то $%f(x)=(x-a)h(x)$% по теореме Безу для некоторого $%h(x)$%. Тогда $%f'(x)=h(x)+(x-a)h'(x)$%. При этом $%f'(a)=0$% по причине касания, но это означает, что $%h(a)=0$%, и тогда снова по теореме Безу $%h(x)$% делится на $%x-a$%, и $%f(x)$% делится на $%(x-a)^2$%. Корень оказывается кратным.

Теперь по поводу задачи с параболами. Условие означает, что квадрат расстояния между двумя точками парабол не меньше $%29$%. Точки обеих парабол легко параметризуются в виде $%(x,3x^2+5ax+19a^2)$% и $%(t,t^2+at+3)$%. Для квадрата расстояния между этими точками должно иметь место неравенство $%F(x,t)=(x-t)^2+(3x^2+5ax+19a^2-t^2-at-3)^2\ge29$%. Требуется выяснить, при каких $%a$% оно верно всегда, то есть при любых $%x,t\in\mathbb R$%.

Это типичная задача на нахождение экстремума функции. Слева мы имеем многочлен 4-й степени от двух переменных. Чтобы понять, в какой точке имеет место экстремум (если он есть), нужно рассмотреть частные производные по $%x$% по $%t$%, приравнивая их к нулю. В данном случае эта система получается весьма сложной: тут будут два кубических уравнения (которые даже по отдельности в аналитическом виде решаются плохо), да ещё и с параметром. Даже если зафиксировать какое-то конкретное $%a$% и попытаться найти минимум функции, то кроме как численными методами это вряд ли делается.

ссылка

отвечен 17 Ноя '16 2:35

Огромное спасибо :)

(17 Ноя '16 3:23) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,019
×322
×40

задан
16 Ноя '16 2:49

показан
371 раз

обновлен
17 Ноя '16 3:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru