|
$$ \frac{\partial^2z}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2z}{\partial y^2} =0, u=x+z, v=y+z $$ задан 16 Дек '12 16:19 
Андрей Савельев |
|
$$dz = z'_udu + z'_v dv = z'_u(dx + dz) + z'_v (dy + dz)$$
Из этого уравнения получаем, что $%dz(1-z'_u - z'_v) = z'_udx + z'_v dy$%, откуда
$$dz = {z'_u\over 1-z'_u - z'_v}dx + {z'_v\over 1-z'_u - z'_v}dy$$
Коэффициенты при dx, dy есть производные $%z'_x, z'_y$% Теперь надо взять вторые производные. Для этого надо продифференцировать любое из трех равенств. Например, первое: $$d^2z = d(z_u')(dx + dz) + z_u' d(dx + dz) + d(z_v')(dy + dz) + z_v' d(dy + dz) = $$ $$ = z_{uu}''(dx+ dz)^2 + 2z_{uv}''(dx+dz)(dy + dz) + z_{vv}''(dy + dz)^2 +(z_u' + z_v')d^2z$$ В это соотношение подставляем dz и находим $%d^2z$% в виде линейной комбинации выражений $%dx^2, dxdy, dy^2$%. Коэффициенты при них и есть производные (смешанная - удвоенная). Дальше считайте сами. отвечен 16 Дек '12 17:35 
DocentI |