Найдите все значения параметра а, при которых система имеет ровно два решения $$\begin{cases} log_{a^2}y=(x^2+3x+2)^4,\\-x^2+y=3x+2.\end{cases}$$

задан 16 Дек '12 19:53

изменен 17 Дек '12 20:55

Deleted's gravatar image


126

Такой вид имеет система уравнений?

(16 Дек '12 20:36) Anatoliy

да, такой!!!

(17 Дек '12 13:38) кто
10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим две функции $%z=log_{a^2}y;z^{'}=\frac{log_{a^2}e}{y}$% и $%z=y^4; z^{'}=4y^3$%. Условие, при котором графики функций будут иметь лишь одну общую точку (по свойствам этих функций) $%(y_0;z_0)$%, можно записать в виде:

1)$$\begin{cases}log_{a^2}y_0=y_0^4,\\ \frac{log_{a^2}e}{y_0}=4y_0^3,\\|a|>1,\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} y_0=\sqrt[4]{e},\\|a|=e^{\frac{1}{8e}} \end{cases}$$. alt text

При $%y=\sqrt[4]{e}$% уравнение $%\sqrt[4]{e}=x^2+3x+2$% имеет два корня (неравные).

2) $%|a|<1, a\ne 0$%

alt text

В этом случае тоже одна общая точка и $%y_0<1$%, значит уравнение $%y_0=x^2+3x+2$% имеет два разных решения.

Ответ: при $%\huge|a|=\huge e^\frac{1}{8e}; a\in (-1;1), a\ne0$%.

ссылка

отвечен 17 Дек '12 18:34

изменен 18 Дек '12 15:11

10|600 символов нужно символов осталось
4

Систему можно переписать в виде $$\begin{cases} log_{a^2}y=y^4,\\y=x^2+3x+2.\end{cases}$$ Из первого уравнения следует, что $%y > 0$%, но при каждом таком $%y$% второе уравнение имеет два решения. Значит, два решения у системы может быть только в том случае, когда первое уравнение имеет единственное решение.
Его можно переписать в виде $%{\ln y\over \ln a^2} = y^4$% или, в силу того, что $%y \ne 0 $%, в виде $%{\ln y\over y^4} = \ln a^2$%, где $%|a|\ne 1$%. Значит, функция $%f(y) = {\ln y\over y^4}$% должна принимать значение $%\ln a^2$% ровно 1 раз. Это можно выяснить с помощью исследования функции $%f.$%

ссылка

отвечен 16 Дек '12 23:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,621

задан
16 Дек '12 19:53

показан
1465 раз

обновлен
18 Дек '12 15:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru