Предложение 6. Пусть A и B - подгруппы некоторой группы G, при чем A - нормальная Fπ-отделимая подгруппа группы G, лежащая в B и являющаяся подгруппой конечного индекса группы B. Тогда в группе G существует такая нормальная подгруппа N конечного π-индекса, что B∩N=A.

Схема доказательства: Так как A - нормальная Fπ-отделимая подгруппа группы G, из предложения 2 следует, что фактор-группа G/A Fπ-аппроксимируема, а так как её подгруппа B/A конечна, из предложения 0, следует что в группе G/A существует такая нормальная подгруппа X конечного π-индекса, что выполнено равенство B/A∩X=1. По теореме соответствии X=N/A для некоторой подгруппы N группы G. Осталось показать, что подгруппа - искомая.

Для справки: Предложение 1. Если нормальная подгруппа H некоторой группы G Fπ-отделима, то все элементы конечного порядка фактор-группы G/H является π-элементами.

Определение 1. Пусть n>0 – целое число. Подгруппа H некоторой группы G называется n-изолированной (в группе G), если для любого элемента g∈G из того, что g^n∈H, следует, что g∈H. Если π – некоторого множество простых чисел, то подгруппа H группа G называется π'-изолированной, если она q-изолирована для каждого простого числа q, не принадлежащего множеству π.

Определение 2. Подгруппа H является Fπ-отделимой, если для любого элемента g группы G, не принадлежащего подгруппе H, существует нормальная подгруппа N конечного π-индекса группы G такая, что элемент g не принадлежит подгруппе HN.

Предложение 2 Для любого множества π простых чисел нормальная подгруппа H группы G π'–изолирована тогда и только тогда, когда все элементы конечного порядка фактор-группы G/H являются π-элементами.

Из предложений 1 и 2 следует, что нормальная Fπ-отделимая подгруппа является π'–изолированной. Это утверждение оказывается справедливым и без предположения о нормальности подгруппы:

Предложение 3. Для любого множества π простых чисел и произвольной группы G любая Fπ-отделимая подгруппа этой группы является π'–изолированной.

Обобщение предложения 3, вообще говоря, не является справедливым: для любого непустого множества π простых чисел существует группа, содержащая π'–изолированную подгруппу, которая не является Fπ-отделимой. Тем не менее, имеет место

Предложение 4. Для любого множества π простых чисел произвольная подгруппа конечно порожденной абелевой группы является Fπ-отделимой т.и т.т.,к. она π'–изолирована.

задан 23 Ноя '16 23:08

изменен 23 Ноя '16 23:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут есть ссылки на какие-то ещё предложения (с номером 0), поэтому имеет смысл доработать доказательство без этого всего, опираясь чисто на определения.

Рассмотрим некоторую группу $%H$%, про которую мы знаем, что она $%F_{\pi}$%-аппроксимируема. (В нашем приложении это будет $%H=G/A$%.) В ней имеется конечная подгруппа $%K$% (далее будет $%K=B/A$%). Посмотрим, что отсюда следует.

Для любого элемента $%h\ne1$%, принадлежащего $%F_{\pi}$%-аппроксимируемой группе, существует гомоморфизм на конечную $%\pi$%-группу, при котором $%h$% переходит не в единицу. Отсюда следует обобщение для любого конечного набора элементов $%h_i\ne1$% при всех $%1\le i\le m$%. А именно, для каждого такого $%i$% строим гомоморфизм $%\phi\colon H\to H_i$%, где группы $%H_i$% являются конечными $%\pi$%-группами, и $%\phi_i(h_i)\ne1$%. Тогда можно задать гомоморфизм $%\phi\colon H\to H_1\times\cdots\times H_m$%, где $%\phi(h)=(\phi_1(h),...,\phi_m(h))$%, где в правой части находится конечная $%\pi$%-группа, и каждый из элементов $%h_i$% переходит не в единицу.

Таким образом, если у нас имеется какое-то конечное множество $%M$% (в частности, конечная подгруппа), то можно рассмотреть конечное множество элементов вида $%x^{-1}y$%, где $%x\ne y$% принадлежат $%M$%, и отобразить $%H$% в конечную $%\pi$%-группу при некотором гомоморфизме так, что образы всех рассматриваемых элементов будут неединичными. Это значит, что множество $%M$% при таком гомоморфизме отобразится биективно на свой образ, то есть при этом не будет "склеек".

Это известный факт, который обычно обосновывают после определения. Я на всякий случай повторил это обоснование. Возможно, что-то подобное делалось в "Предложении 0".

Итак, вернёмся к началу. Существует гомоморфизм $%\phi\colon H\to L$% в некоторую конечную $%\pi$%-группу $%L$%, при котором элементы конечной группы $%K$% не "склеиваются". Это значит, что ограничение $%\phi$% на подгруппу $%K$% является вложением, то есть имеет тривиальное ядро. Это ядро равно пересечению $%K$% с ядром $%X$% гомоморфизма $%\phi$%, которое является нормальной в $%H$% подгруппой. У нас получилось, что $%K\cap X=1$%, где под 1 понимается нейтральный элемент группы $%H$%.

Что это даст, если мы применим полученный здесь факт (я его как бы "разжевал") к случаю $%H=G/A$%, $%K=B/A$%? Здесь $%X$% есть нормальная подгруппа в $%H$%. Имеет место естественный гомоморфизм $%G\to H=G/A$% группы на факторгруппу. Прообразом нормальной в $%H$% подгруппы $%X$% будет некоторая нормальная в $%G$% подгруппа $%N$%. Она содержит $%A$%, и $%N/A=X$% как следствие теорем о гомоморфизмах (это и есть серия "теорем о соответствии"). То, что $%K\cap X=(B/A)\cap(N/A)=A$% в факторгруппе (напомним, что её нейтральный элемент и есть $%A$%), означает, что $%B\cap N=A$%, в чём и требовалось убедиться.

Осталось проверить условие, что $%N$% имеет в $%G$% конечный $%\pi$%-индекс. Действительно, $%G/N\cong(G/A)/(N/A)=H/X$% в силу тех же теорем о гомоморфизмах, а фактогруппа $%H/X$% у нас есть факторгруппа по ядру гомоморфизма. Она, как известно, изоморфна образу $%\phi(H)$% этого гомоморфизма, а это подгруппа конечной $%\pi$%-группы $%L$%. Значит, она сама является конечной $%\pi$%-группой, а это означает, что $%N$% имеет в $%G$% конечный $%\pi$%-индекс. Все свойства, тем самым, проверены.

ссылка

отвечен 23 Ноя '16 23:53

Благодарю вас за ответ!

(14 Фев '17 20:38) Svet_93

Есть только не большое замечание к доказательству. Равенство (B/A)∩(N/A)=A не имеет смысла, так как его левая и правая части являются подмножествами разных множеств, не имеющих общих элементов.

Доказательство равенства B∩N=A следует начать с замечания, что включение A⊆B∩N очевидно, так как (?). Затем предположить, что элемент g∈G принадлежит подгруппе B∩N, и доказать, что тогда g∈A.

(14 Фев '17 22:37) Svet_93

@Svet_93: в учебниках по теории групп часто можно встретить запись вида $%G > H > 1$%. Если подходить совсем формально, то она неверна, потому что речь о включении множеств, и вокруг 1 следовало бы ставить фигурные скобки. Но обычно такие "строгости" не соблюдают, чтобы не загромождать текст. У меня ситуация аналогичная: рассматривается пересечение подгрупп одной и той же группы $%G/A$%, и они пересекаются по единичному элементу, которым в факторгруппе является $%A$%.

Однако при написании длинных ответов и разъяснении всяких мелочей могут быть и ошибки, так что хорошо, что Вы следите.

(14 Фев '17 23:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,133
×826
×257
×22

задан
23 Ноя '16 23:08

показан
457 раз

обновлен
14 Фев '17 23:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru