Найти экстремумы в следующей задаче: $$extr(2x^2-xy+y^2), (x-1)(y-1)=a, a\ne 0$$ Я выписала функцию Лагранжа: $%L=2x^2-xy+y^2+\lambda ((x-1)(y-1)-a)$%, приравняла компоненты ее градиента к нулю и выразила $%x,y$% через $%\lambda: x=\frac{\lambda}{4}+\frac{(3\lambda-\lambda^2)(1-\lambda)}{-\lambda^2+2\lambda+7}, y=\frac{3\lambda-\lambda^2}{-\lambda^2+2\lambda+7}$%. Теперь нужно подставить полученные выражения в выражение с $%a$% и выразить лямбду через а. Но у меня получается жуткое уравнение 4 степени. Подскажите, пожалуйста, как быть.

задан 29 Ноя '16 1:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Думаю, что уравнений 4-й степени тут в любом случае не избежать, причём они в общем случае явно "плохие". Для отдельных специально подобранных значений параметра, конечно, всё может решаться.

Метод Лагранжа применять не обязательно, и я рассуждал так. Для начала заменим переменные на $%x=u+1$%, $%y=v+1$%. Тогда "целевая функция" примет вид $%2u^2+v^2-uv+3u+v+2$%. От неё можно оставить $%2u^2+v^2+3u+v$%, и подставить $%v=u/a$%. Получится $%F(u)=2u^2+3u+au^{-1}+a^2u^{-2}$%. Функция определена всюду кроме нуля. Производная: $%F'(u)=4u+3-au^{-2}-2a^2u^{-3}=u^{-3}(4u^4+3u^3-au-2a^2)$%.

Многочлен 4-й степени в скобках при любом значении параметра $%a\ne0$% имеем два корня как минимум. На множители это выражение в общем виде не раскладывается. Можно попытаться подставить какое-нибудь значение, и посмотреть, что будет. Например, я подставил $%a=3$% и проверил на Вольфраме. Как и ожидалось, "точное" решение в радикалах там имеет совершенно безобразный вид, и обойти это никак нельзя (то есть значение в точке экстремума будет иметь не менее сложную форму).

При конкретных $%a$% типа $%\frac14$% или $%-\frac18$% одна из критических точек получается рациональной. Не знаю, можно ли подобрать такое значение параметра, чтобы все точки экстремума находились "явно" (думаю, что можно, скорее всего).

ссылка

отвечен 29 Ноя '16 3:21

@falcao, спасибо за ответ! Поясните, пожалуйста, почему мы можем не учитывать $%uv$% для целевой функции

(29 Ноя '16 11:03) Uchenitsa

Потому что uv=(x-1)(y-1)=a постоянно.

(29 Ноя '16 13:44) falcao

@falcao, а, поняла. Спасибо!

(30 Ноя '16 9:48) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×497
×80
×70

задан
29 Ноя '16 1:52

показан
301 раз

обновлен
30 Ноя '16 9:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru