Сколько слагаемых получится, если в выражении (4x^3+x^{-3}+2)^{2016} раскрыть скобки и привести подобные члены?

задан 29 Ноя '16 13:16

Тут всё просто, поскольку коэффициенты положительны, и сокращений членов при приведении не происходит. Удобно положить t=x^3, и тогда скобки раскрываются для степени (t^{-1}+2+4t)^n. Ясно, что все члены от t^{-n} до t^n (включая t^0=1) войдут с положительными коэффициентами. Их будет 2n+1. При обратной замене t^k превратится в x^{3k}, то есть количество слагаемых не изменится.

(29 Ноя '16 15:09) falcao

у меня вопрос, суть в том что я отправил это задание на несколько сайтов, однако вышло два разных ответа. вот ответ с другого сайта (4x³+1/x³+2=((2x³)²+2x³+1)/x³. Если обозначить t=2x³, то количество подобных слагаемых в исходном выражении равно количеству слагаемых в многочлене 4032 степени (t²+t+1)²⁰¹⁶. Рассмотрим процесс раскрытия скобок в этом произведении. Возьмем произвольное слагаемое t^k, где k≤4032. Покажем, что коэффициент при нем не 0. Если k=2m, то m≤2016, и значит это слагаемое можно получить, перемножая t² из m скобок (t²+t+1), а из остальных скобок взяв 1. Продолжение дальше)

(29 Ноя '16 15:27) kladko1

Если k=2m+1, то m≤2015 и значит t^k можно получить, взяв t² из m скобок, взяв t из одной скобки, а из остальных скобок взяв 1. Т.к. все получающиеся коэффициенты положительны, то при каждом слагаемом t^k будет ненулевой коэффициент, а значит общее количество слагаемых равно степени многочлена плюс 1, т.е. ответ 4033.

(29 Ноя '16 15:27) kladko1

прошу помогите разобраться

(29 Ноя '16 15:28) kladko1

@kladko1: ответ 4033 верный, но я показал, как его получить совсем просто. Разбираться в чьём-то усложнённом рассуждении я считаю ненужным. Если у Вас есть вопросы по моему доказательству, я готов ответить. Напомню, что выше был получен общий ответ 2n+1. При n=2016 это даёт то, что у Вас.

Никаких двух разных ответов я тут не вижу.

(29 Ноя '16 15:41) falcao

спасибо уже понял просто сразу не сообразил, благодарю за помощь.

(29 Ноя '16 16:04) kladko1
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,774
×1,021

задан
29 Ноя '16 13:16

показан
887 раз

обновлен
29 Ноя '16 16:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru