|
Найдите все многочлены $%P(x)$% с действительными коэффициентами, для которых существует натуральное число $%n$% такое, что при всех действительных $%x$% выполняется равенство: $$P\left(x+\frac1n\right)+P\left(x-\frac1n\right)=2P(x)$$ задан 29 Ноя '16 19:47 
Роман83 |
|
Пусть $%a\ne0$%. Положим $%Q(x)=P(x+a)-P(x)$%. По условию, $%Q(x)=Q(x-a)$% для всех $%x$%. Это значит, что $%Q(x)$% является константой: он принимает то же самое значение на бесконечном множестве точек. Тогда $%P(x+a)-P(x)=d$% для всех $%x$%, и значения $%P$% в точках вида $%ka$% образуют арифметическую прогрессию с разностью $%d$%, задаваемую формулой вида $%dk+c$%. Это значит, что $%P(x)=dx+c$% для бесконечного числа точек, поэтому имеет место тождество. отвечен 29 Ноя '16 23:11 
falcao |
|
Пусть $%P(x)$% имеет степень $%m$%. По формуле Тейлора имеем: $$P(x+a) = \sum_{k=0}^{m}\frac{P^{(k)}(x)}{k!}a^k$$ и $$P(x-a) = \sum_{k=0}^{m}\frac{P^{(k)}(x)}{k!}(-a)^k.$$ Значит если условие задачи выполнено, то должно быть (просто сложим эти штуки): $$2\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor}\frac{P^{(2k)}(x)}{(2k)!}a^{2k} = 0$$ для любого $%x\in\mathbb{R}$%. Т.к. $%a\ne 0$%, то необходимо (степени многочленов убывают) $%P^{(2)}(x)=0$%, т.е. $%m=0,1$%. Из этого легко видеть, что $%P(x)=Ax+B\in\mathbb{R}[x].$% отвечен 29 Ноя '16 21:01 
Sunbro @all_exist Конечно может, опечатка там у меня (исправил).
(29 Ноя '16 21:06)
Sunbro
@all_exist давайте уберем...
(29 Ноя '16 21:39)
Sunbro
|