Найдите все многочлены $%P(x)$% с действительными коэффициентами, для которых существует натуральное число $%n$% такое, что при всех действительных $%x$% выполняется равенство: $$P\left(x+\frac1n\right)+P\left(x-\frac1n\right)=2P(x)$$

задан 29 Ноя '16 19:47

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть $%a\ne0$%. Положим $%Q(x)=P(x+a)-P(x)$%. По условию, $%Q(x)=Q(x-a)$% для всех $%x$%. Это значит, что $%Q(x)$% является константой: он принимает то же самое значение на бесконечном множестве точек. Тогда $%P(x+a)-P(x)=d$% для всех $%x$%, и значения $%P$% в точках вида $%ka$% образуют арифметическую прогрессию с разностью $%d$%, задаваемую формулой вида $%dk+c$%. Это значит, что $%P(x)=dx+c$% для бесконечного числа точек, поэтому имеет место тождество.

ссылка

отвечен 29 Ноя '16 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть $%P(x)$% имеет степень $%m$%. По формуле Тейлора имеем:

$$P(x+a) = \sum_{k=0}^{m}\frac{P^{(k)}(x)}{k!}a^k$$

и

$$P(x-a) = \sum_{k=0}^{m}\frac{P^{(k)}(x)}{k!}(-a)^k.$$

Значит если условие задачи выполнено, то должно быть (просто сложим эти штуки): $$2\sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{m}{2} \right \rfloor}\frac{P^{(2k)}(x)}{(2k)!}a^{2k} = 0$$ для любого $%x\in\mathbb{R}$%. Т.к. $%a\ne 0$%, то необходимо (степени многочленов убывают) $%P^{(2)}(x)=0$%, т.е. $%m=0,1$%.

Из этого легко видеть, что $%P(x)=Ax+B\in\mathbb{R}[x].$%

ссылка

отвечен 29 Ноя '16 21:01

изменен 29 Ноя '16 21:38

@Sunbro, а $%P(x)=ax+b$% разве не может?...

(29 Ноя '16 21:04) all_exist

@all_exist Конечно может, опечатка там у меня (исправил).

(29 Ноя '16 21:06) Sunbro

@Sunbro, так может $%P(x)=A$% вовсе убрать?...

(29 Ноя '16 21:36) all_exist

@all_exist давайте уберем...

(29 Ноя '16 21:39) Sunbro

@Sunbro, я в общем-то не настаиваю... )))

(29 Ноя '16 21:44) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×350
×75

задан
29 Ноя '16 19:47

показан
384 раза

обновлен
29 Ноя '16 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru