1
1

a.При каких a x^2-2ax+y^2+(8-2a)y+a^2-8a+16<=0 верно если 1<=x<=3, 1<=y<=3?

b. При каких a система имеет хотя бы одно решение: (x-4sinz)^2+(y-4cosz)^2=1, |x|+|y|=a?

задан 30 Ноя '16 18:49

изменен 1 Дек '16 3:03

1

Геометрически всё более менее просто решается...

В первом условие то ли не дописано, то ли набрано с ошибками...
Но суть решения видимо такая... неравенство описывает круг, центр которого в зависимости перемещается по прямой... радиус тоже зависит от параметра... Надо выяснить при каких параметрах внутрь круга помещается квадрат...

Во второй, опять спасает плоская картинка... первое уравнение - это кольцо... второе квадрат... определить параметр тут совсем просто...

(30 Ноя '16 22:25) all_exist

В первом условии несоответствие между p и a.

(30 Ноя '16 22:48) falcao

@falcao описался, это всё один параметр. Уже исправил.

(1 Дек '16 2:59) Даниил Ребянин

@all_exist да, забыл дописать только "выполняется для всех пар (x,y)", а дальше уже если 1<=x<=3, 1<=y<=3.

(1 Дек '16 3:02) Даниил Ребянин

В первом задании, после осознания геометрии задачи, можно переходить к аналитике... Круг - это выпуклое множество, поэтому любые две точки содержатся в нём вместе с отрезком... следовательно, достаточно подставить в неравенство четыре угловых точки квадрата и получить систему из четырёх квадратных неравенств... нашли пересечение их решений и получили ответ...

====

Во втором - чистая геометрия...

(1 Дек '16 11:47) all_exist

@all_exist что-то не получается так, как вы сказали в первом.. Подставил значения.. И что-то не выходит Можете решение написать, пожалуйста? Я видимо где-то не понял или ошибся.

(15 Дек '16 19:34) Даниил Ребянин
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Преобразованное неравенство в первом примере имеет вид $%(x-a)^2+(y+4-a)^2\le a^2$%.

Рекомендовано было подставить в него координаты четырёх вершин квадрата, то есть $%x=1$% или $%x=3$%, вместе с $%y=1$% или $%y=3$%. В каждом случае получается квадратичное неравенство. Например, при $%x=y=1$% будет $%(a-1)^2+(5-a)^2\le a^2$%, что упрощается до $%a^2-12a+26\le0\Leftrightarrow(a-6)^2\le10\Leftrightarrow|a-6|\le\sqrt{10}$%, то есть $%a\in[6-\sqrt{10};6+\sqrt{10}]$%.

Все остальные случаи дают аналогичные условия. При подстановке $%x=1$%, $%y=3$% будет $%a\in[8-\sqrt{14},8+\sqrt{14}]$%. Третье неравенство, для $%x=3$%, $%y=1$% можно отбросить, так как оно слабее второго (там корень из 30 вместо корня из 14). Наконец, при $%x=y=3$% получается $%a\in[10-\sqrt{42},10+\sqrt{42}]$%.

Итак, $%a$% удовлетворяет системе из трёх двойных неравенств. Это значит, что $%a$% не превосходит наименьшего из трёх чисел, являющихся правыми концами отрезков, а также не меньше максимума из трёх значений для левых концов отрезков.

Остаётся сравнить между собой числа. Для правых концов это совсем очевидно ввиду неравенств $%6+\sqrt{10} < 8+\sqrt{14} < 10+\sqrt{42}$%. Для левых концов это сразу не ясно, и числа между собой надо сравнивать. Здесь они не очень близки друг к другу, и достаточно округлить квадратные корни в нужную сторону для целых чисел. При этом видно, что $%6-\sqrt{10} < 3$%; $%8-\sqrt{14} > 4$%; $%10-\sqrt{42} < 4$%. Понятно, что второе число наибольшее. Окончательно имеем ответ $%a\in[8-\sqrt{14},6+\sqrt{10}]$%.

ссылка

отвечен 15 Дек '16 22:32

огроменное спасибо!

(22 Дек '16 16:56) Даниил Ребянин
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,633
×827
×457
×281
×234

задан
30 Ноя '16 18:49

показан
393 раза

обновлен
22 Дек '16 16:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru