Подскажите пожалуйста, если знаете, где можно изучить примеры решения подобной задачи, ничего понятного по ней пока что не нашел, или, если не трудно, как решить этот пример. Я пытался разобраться по книге Фарлоу "Уравнения с частными производными", Лекция 15 "Конвективный член в диффузионной задаче", но там каждая лекция очень непонятная и сложная, эта в том числе, по нему не могу решить.

Решить задачу Коши для уравнения конвективной диффузии: $$ u_{t} = 4u_{xx} - 2u_{x}; -\infty < x < \infty, 0 < t < \infty$$ $$u(x,0) = sin3x; -\infty < x < \infty$$

задан 1 Дек '16 2:52

@user1996, я полистал Вашу книжку Фарлоу "Уравнения с частными производными"... почему Вы сразу решили читать её с 15 лекции?... Посмотрите предыдущие лекции... там всё излагается без особых излишеств...

Из других учебников, что есть под рукой - например, Арманович, Левин "УМФ" (со стр.145 идёт речь про вывод уравнения... а потом про задачу Коши) ... или Мартинсон, Малов "Дифференциальные уравнения мат. физики" (но тут всё достаточно кратенько)...

Вообще по УМФ не припомню каких-то решебников... ((( ... надо будет покопаться ещё...

(4 Дек '16 19:55) all_exist

@all_exist, начал читать с 15 лекции потому что очень сложно будет их освоить все сразу ради одного примера – дойду до самого решения примера где-то через неделю или больше, легче поискать пример-аналог или уже спросить у преподавателя и он что-то подскажет хоть, или объяснит это решение из 15 лекции, только в случае если это всё не выйдет буду изучать все лекции, спасибо, попробую эти учебники еще, решебники тоже не знаю какие-либо, только учебники понаходил

(4 Дек '16 22:46) user1996

Немного почистил комментарии... вдруг ещё вопросы будут...

(5 Дек '16 10:34) all_exist

@all_exist, сегодня спрашивал преподавателя про этот пример – он сказал, что надо только сделать замену и оставить просто нерешенный интеграл, потому что, мол, есть куча интегралов которые вообще не берутся, так что незачем его считать, решение с Лапласом проигнорировал, то есть по его версии достаточно просто дойти до задачи (2) и оставить всё в виде этого интеграла, как в примере в лекции 15, то есть он говорит что там интеграл был решен чисто формально, то есть через спец-функцию, так что здесь с таким же успехом можно оставить его просто не подсчитанным

(8 Дек '16 0:09) user1996

@all_exist, в пятницу покажу ему само Ваше полное решение, хотя его оно не интересует почему-то

(8 Дек '16 0:10) user1996

по его версии достаточно просто дойти до задачи (2) и оставить всё в виде этого интеграла - ну, это тоже запись решения...

(8 Дек '16 0:19) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Комментарии закончились...

Начнём с того, что написано в учебнике Фарлоу в лекции 15... возможно Вы пытались повторить все выкладки этой лекции... но там идёт сначала идёт рассмотрение модельного уравнения без диффузионного слагаемого... По итогу, всё что Вам нужно - это само преобразование уравнения...

Если Вам дана задача Коши в полуплоскости $%(x;t)\in\mathbb{R}\times[0;+\infty)$% $$ u_t = 4u_{xx}-2u_x, \qquad u(x;0)=\sin 3x,\qquad\qquad\qquad(1) $$ то замена $%u(x;t)=U(\xi;\tau),\;\tau=t,\;\xi=x-2t$% приводит Вашу задачу к виду $$ U_{\tau} = 4U_{\xi\xi}, \qquad U(\xi;0)=\sin 3\xi, \qquad\qquad\qquad(2) $$ то есть задачу Коши для обыкновенного уравнения теплопроводности без конвективного слагаемого...

Отмечу, что это не единственный путь преобразования задачи $%(1)$%... например, у Фарлоу в лекции 8 приведён ещё один вариант преобразований... Однако, это преобразование применяют для краевых задач и не применяют для задачи Коши, поскольку в результате получается неограниченная функция в начальных данных...

Теперь про задачу без $%(2)$%... Поковырялся в разных учебниках, освежил воспоминания... есть много разных примеров на решение краевых задач, а для задачи Коши всюду выводят формулу общего решения, записанную с помощью функции Грина $$ U(\xi;\tau)= \int_{-\infty}^{+\infty} U_0(\xi)\cdot G(\xi-\eta;\tau)\cdot d\eta $$ и затем исследуют его свойства...

В частности, у Фарлоу в лекции 12 эта формула выводится при помощи преобразования Фурье... но в качестве замечания пишут, что на для всех функций существует образ преобразования Фурье (имеется ввиду начальные данные)... в том числе и для синуса, который присутствует в задаче $%(2)$%...

С другой стороны, преобразование Фурье - это не единственный способ вывода формулы ... в конце концов, фундаментальное решение уравнения теплопроводности сначала (исторически) угадали, а уже потом придумали вывод...

===========================

ЗЫ: Можно конечно воспользоваться исторической аналогией... то есть угадать решение и сослаться на теорему единственности решения задачи Коши, где требуется непрерывность и ограниченность начальных данных... (то есть стремление к нулю на бесконечности не обязательно) ...

Про вычисление интеграла записанного выше я пока не думал... а что касается преобразования Лапласа - это типовой метод решения... попробую описать вкратце...

Если применить преобразование Лапласа по переменной $%\tau$% к задаче $%(2)$%, то получим ДУ $$ pV-\sin 3\xi=4V'', $$ где $%p$% - комплексная переменная преобразования Лапласа, $%V(\xi;p)$% - образ функции $%U(\xi;\tau)$%... Решением этого ДУ является функция $$ V=\frac{\sin 3\xi}{p-36}+V_0, $$ где $%V_0(\xi;p)=C_1\cdot e^{0.5\cdot x\cdot \sqrt{p}} + C_2\cdot e^{-0.5\cdot x\cdot \sqrt{p}}$% - решение однородного уравнения...

Вот на этом моменте меня немного заклинило ... и дальше пришло такое объяснение в голову...

Поскольку для решения задачи Коши $%(2)$% справедливо неравенство $$ \min U(\xi;0) \le U(\xi;\tau) \le \max U(\xi;0), $$ то есть решение ограничено, то преобразование Лапласа тоже должно быть ограниченным... А поскольку $%\text{Re}\;p > 0$%, то $%\text{Re}\;\sqrt{p} > 0$%... следовательно, $%V_0$% будет ограниченным на бесконечности только при $%C_1=C_2=0$%...

Ну, а дальше всё очевидно... Осталось найти прообраз функции $$ V=\frac{\sin 3\xi}{p-36}, $$ которым будет $$ U(\xi;\tau)=\sin 3\xi\cdot e^{-36\tau}, $$ что можно увидеть в таблицах преобразования... это решение задачи $%(2)$% ... Возвращаясь к исходным переменным получим решение задачи $%(1)$% $$ u(x;t)=\sin 3(x-2t)\cdot e^{-36t} $$

Ну, как-то так...

ссылка

отвечен 5 Дек '16 0:36

изменен 5 Дек '16 4:06

большое спасибо за разбор,

да, я пытался полностью понять главу, потому что не знаю, что там нужно для решения, а что нет,

то есть тут получается, что очень короткое решение, которое останавливается на формуле с интегралом,

а это никак не может решаться с помощью свертки? похоже на неё слегка, только я не знаю можно ли сверткой здесь что-то решить, просто вижу что-то на неё похожее, но при этом еще и с непривычными бесконечными границами

(5 Дек '16 0:52) user1996

@all_exist, кстати в этой 12-ой лекции есть материал про свертку, может быть им как раз и можно решить? я сейчас пытаюсь понять, может быть Вы не использовали эту информацию

(5 Дек '16 0:57) user1996

@user1996, свёртка там используется для получения общего решения... Для преобразования Фурье от свёртки есть свойство $%F(f\star g)=F(f)\cdot F(g)$%... но им не удастся воспользоваться при вычислении интеграла, поскольку образа у синуса не существует...

Если посмотреть лекцию 14, то там предлагают решить аналог задачи (2) при помощи преобразования Лапласа... У меня уже была такая мысль, но я её бросил на пол пути... ))) ...

В общем будут мысли, то напишу дополнение в ответе...

(5 Дек '16 1:26) all_exist
1

Хм... а решением является $%u=\sin 3x \cdot e^{-9t}$%... смешно...

(5 Дек '16 2:06) all_exist

@all_exist, так просто что даже сложно, Вы как-то угадали или где-то нашли ответ? http://mathprofi.ru/tablica_originalov_j_izobrazhenij.pdf – кстати вот таблица образов Лапласа, это не связано с образом Фурье? там нигде ею вместо Фурье нельзя воспользоваться? update: так понимаю, что это возможно метод, который Вы бросили на полпути, так что не знаю где можно еще применить Лапласа

кстати, а я правильно понимаю, что задача (2) уже не на полуплоскости, а на всей плоскости?

(5 Дек '16 3:26) user1996

Почему?... ведь по прежнему $%t=\tau \le 0$%...

Мучительно подбираю слова для объяснения решения... ))) ... кстати, выше я немного ошибся в решении (забыл, что у Вас при второй производной стоит 4)...

(5 Дек '16 3:31) all_exist

@all_exist, думаю что незначительная ошибка, слова можете не особо подбирать – круто что Вы вообще это как-то решили, я сам буду неделю с этим примером возиться если буду решать,

кстати нашел две книги насчет преобразования Лапласа, http://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/61420 – здесь есть раздел, в котором похожее на (2) решают посредством Лапласа, только нет тех же (бесконечных) границ, и http://libarch.nmu.org.ua/handle/GenofondUA/72400 – может быть эти два учебника чем-то Вам будут полезны, не только конкретно в этой задаче, а и в целом

(5 Дек '16 3:57) user1996

Разных учебников по операционному исчислению в сети масса... просто давно этим не пользовался, поэтому получается всё со скрипом...

(5 Дек '16 4:09) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Выше ответы про преобразования Лапласа и Фурье даны верно, и это верно в общем случае. Но когда уравнение сводится к виду

$$\qquad \qquad \qquad U_\tau=4U_{\xi\xi},\qquad \qquad(1)$$

а функция, соответствующая начальному условию, является синусом или косинусом, как здесь:

$$\qquad \qquad U(\xi,0)=\sin(3\xi),\qquad (2)$$

можно решать его проще. Пусть функция U будет равна произведению двух функций:

$$\qquad \qquad U(\xi,\tau)=T(\tau)X(\xi).\qquad (3)$$

Подставим (3) в (1):

$$\qquad \qquad T'(\tau)X(\xi) = 4T(\tau)X''(\xi).\qquad (4)$$

Поделив (4) на 4TX, получим:

$$\qquad \qquad {T'\over 4T} = {X''\over X}=-\lambda.\qquad (5)$$

Из (5) получается система дифференциальных уравнений:

$$\begin{cases} X''+\lambda X=0\\ T'+4\lambda T=0 \end{cases}.\qquad (6)$$

Решим первое из них. Это известное уравнение колебаний. Его решение имеет вид:

$$\qquad \qquad X(\xi) = A\cos(\sqrt{\lambda}\xi)+B\sin(\sqrt{\lambda}\xi).\qquad (7)$$

Подставим (7) В (2):

$$\qquad \qquad U(\xi,0) = \sin(3\xi) = T(0)X(\xi) = T(0)A\cos(\sqrt{\lambda}\xi)+T(0)B\sin(\sqrt{\lambda}\xi).\qquad (8)$$

Из (8) очевидно, что коэффициент A должен быть равен нулю, так как в левой части присутствует только синус, а корень из лямбды должен равняться 3. Тогда B и лямбда таковы:

$$\qquad \qquad \lambda = 9,\qquad B = {1\over T(0)}.\qquad (9)$$

Второе уравнение в (6) просто решается:

$$\qquad \qquad T(\tau) = T(0)e^{-4\lambda\tau}.\qquad (10)$$

Подставляя (8), (9) и (10) в (3), получим окончательный ответ:

$$\qquad \qquad U(\xi,\tau)=e^{-36\tau}\sin(3\xi).\qquad (11)$$

ссылка

отвечен 25 Ноя '20 20:23

изменен 25 Ноя '20 21:05

all_exist's gravatar image


48.3k213

Зачем это всё, если есть интеграл Пуассона?

(25 Ноя '20 20:33) caterpillar

Кстати, спасибо за название книги Фарлоу! Я именно её искал, но не знал ни названия, ни автора! Это мне очень помогло!

(25 Ноя '20 20:35) Владимир1999

@caterpillar, а как его здесь применять?

(25 Ноя '20 20:36) Владимир1999

Вычислить либо дифференцированием по параметру, либо средствами ТФКП, превратив синус в мнимую экспоненту. От ТФКП тут нужна только теорема Коши для строгого обоснования замены переменной после выделения полного квадрата в показателе экспоненты.

(25 Ноя '20 20:40) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,995
×1,138
×946
×349
×185

задан
1 Дек '16 2:52

показан
1312 раз

обновлен
25 Ноя '20 21:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru