высшая-математика - Задача Коши для уравнения конвективной диффузии

Комментарии закончились...

Начнём с того, что написано в учебнике Фарлоу в лекции 15... возможно Вы пытались повторить все выкладки этой лекции... но там идёт сначала идёт рассмотрение модельного уравнения без диффузионного слагаемого... По итогу, всё что Вам нужно - это само преобразование уравнения...

Если Вам дана задача Коши в полуплоскости $%(x;t)\in\mathbb{R}\times[0;+\infty)$% $$ u_t = 4u_{xx}-2u_x, \qquad u(x;0)=\sin 3x,\qquad\qquad\qquad(1) $$ то замена $%u(x;t)=U(\xi;\tau),\;\tau=t,\;\xi=x-2t$% приводит Вашу задачу к виду $$ U_{\tau} = 4U_{\xi\xi}, \qquad U(\xi;0)=\sin 3\xi, \qquad\qquad\qquad(2) $$ то есть задачу Коши для обыкновенного уравнения теплопроводности без конвективного слагаемого...

Отмечу, что это не единственный путь преобразования задачи $%(1)$%... например, у Фарлоу в лекции 8 приведён ещё один вариант преобразований... Однако, это преобразование применяют для краевых задач и не применяют для задачи Коши, поскольку в результате получается неограниченная функция в начальных данных...

Теперь про задачу без $%(2)$%... Поковырялся в разных учебниках, освежил воспоминания... есть много разных примеров на решение краевых задач, а для задачи Коши всюду выводят формулу общего решения, записанную с помощью функции Грина $$ U(\xi;\tau)= \int_{-\infty}^{+\infty} U_0(\xi)\cdot G(\xi-\eta;\tau)\cdot d\eta $$ и затем исследуют его свойства...

В частности, у Фарлоу в лекции 12 эта формула выводится при помощи преобразования Фурье... но в качестве замечания пишут, что на для всех функций существует образ преобразования Фурье (имеется ввиду начальные данные)... в том числе и для синуса, который присутствует в задаче $%(2)$%...

С другой стороны, преобразование Фурье - это не единственный способ вывода формулы ... в конце концов, фундаментальное решение уравнения теплопроводности сначала (исторически) угадали, а уже потом придумали вывод...

===========================

ЗЫ: Можно конечно воспользоваться исторической аналогией... то есть угадать решение и сослаться на теорему единственности решения задачи Коши, где требуется непрерывность и ограниченность начальных данных... (то есть стремление к нулю на бесконечности не обязательно) ...

Про вычисление интеграла записанного выше я пока не думал... а что касается преобразования Лапласа - это типовой метод решения... попробую описать вкратце...

Если применить преобразование Лапласа по переменной $%\tau$% к задаче $%(2)$%, то получим ДУ $$ pV-\sin 3\xi=4V'', $$ где $%p$% - комплексная переменная преобразования Лапласа, $%V(\xi;p)$% - образ функции $%U(\xi;\tau)$%... Решением этого ДУ является функция $$ V=\frac{\sin 3\xi}{p-36}+V_0, $$ где $%V_0(\xi;p)=C_1\cdot e^{0.5\cdot x\cdot \sqrt{p}} + C_2\cdot e^{-0.5\cdot x\cdot \sqrt{p}}$% - решение однородного уравнения...

Вот на этом моменте меня немного заклинило ... и дальше пришло такое объяснение в голову...

Поскольку для решения задачи Коши $%(2)$% справедливо неравенство $$ \min U(\xi;0) \le U(\xi;\tau) \le \max U(\xi;0), $$ то есть решение ограничено, то преобразование Лапласа тоже должно быть ограниченным... А поскольку $%\text{Re}\;p > 0$%, то $%\text{Re}\;\sqrt{p} > 0$%... следовательно, $%V_0$% будет ограниченным на бесконечности только при $%C_1=C_2=0$%...

Ну, а дальше всё очевидно... Осталось найти прообраз функции $$ V=\frac{\sin 3\xi}{p-36}, $$ которым будет $$ U(\xi;\tau)=\sin 3\xi\cdot e^{-36\tau}, $$ что можно увидеть в таблицах преобразования... это решение задачи $%(2)$% ... Возвращаясь к исходным переменным получим решение задачи $%(1)$% $$ u(x;t)=\sin 3(x-2t)\cdot e^{-36t} $$

Ну, как-то так...