http://kvant.mccme.ru/1989/10/v_tainstvennom_mire_beskonechn.htm

Каким образом автор статьи считает $%ζ(4)$% и $%ζ(6)$%, опираясь на вышеизложенное?

задан 2 Дек '16 1:19

изменен 2 Дек '16 22:59

10|600 символов нужно символов осталось
3

Как написано, надо раскрыть скобки и сравнить коэффициенты при $%x^4$% ... тогда получим равенство $$ \frac{\pi^4}{120} = \sum_{k < m} \frac{1}{k^2\cdot m^2} $$ Такая сумма возникает, если возвести в квадрат $%\zeta(2)$%... $$ \Big(\zeta(2)\Big)^2 = \left(\sum_{k} \frac{1}{k^2}\right)^2 = \sum_{k} \frac{1}{k^4}+2\cdot\sum_{k < m} \frac{1}{k^2\cdot m^2} $$ Итого, $$ \left( \frac{\pi^2}{6}\right)^2 = \zeta(4)+\frac{\pi^4}{60} $$

======================================================

ЗЫ: В вычислениях можно проводить аналогии с симметрическими многочленами... (всякие формулы можно посмотреть у Болтянского, Виленкина) ... Например, возьмём формулу со страницы 45 ... $$ x^3+y^3+z^3=\sigma_1^3-3\cdot \sigma_1\cdot \sigma_2+3\cdot \sigma_3 $$ то есть для значений дзета-функции получаем равенство $$ \zeta(6) = \Big(\zeta(2)\Big)^3 -3\cdot \zeta(2) \cdot \sum_{k < m} \frac{1}{k^2\cdot m^2} + 3\cdot \sum_{k < m < s} \frac{1}{k^2\cdot m^2\cdot s^2} $$ Оставшиеся ряды берём из сравнения коэффициентов при соответствующих степенях икса из статьи...

ссылка

отвечен 2 Дек '16 1:49

изменен 2 Дек '16 23:29

@all_exist: а для ζ(6) нужно рассмотреть ζ(2)*ζ(4)?

(2 Дек '16 2:45) stander

@stander: это будет надо рассмотреть для сравнения, но ещё там придётся учитывать $%\zeta(2)^3$%. Это связано с тем, что x^6 появляется при раскрытии скобок как оно само, как x^4 на x^2 (дважды), и как x^2 x^2 x^2.

(2 Дек '16 3:00) falcao

@all_exist: а каким образом у нас происходит суммирование именно по k<m? И не затруднит ли Вас дополнительно пояснить случай $%\zeta(6)$%?

(2 Дек '16 23:01) sunflower

@sunflower, а каким образом у нас происходит суммирование именно по k<m? - мы же всегда можем упорядочить слагаемые...

(2 Дек '16 23:14) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×29

задан
2 Дек '16 1:19

показан
326 раз

обновлен
2 Дек '16 23:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru