663) Доказать, что вектор b тогда и только тогда линейно выражается через векторы a1, a2, . . . . , an когда ранг последней системы векторов не изменяется от присоединения к ней вектора b. Доказательство:

Пусть дана система:
a11z1+a12z2+ ...+ a1mzm=b1
a21
z1+a22z2+ ...+ a2mzm=b2
................................................
ak1z1+ak2z2+ ...+ akm*zm=bk

предположим, что система совместима. Это означает, что равенство
a1=(a11,a21, ..., ak1)
a2=(a12,a22, ..., ak2)
..................................
am=(a1m,a2m, ..., akm)
b=(b1,b2,...bk)

выполняется для некоторого набора чисел z1, z2, . . . , z m, т. е. вектор b является линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , am. Но отсюда следует, что любая база системы a1, a2, . . . , am будет одновременно и базой системы a1, a2, . . . , am, b, т. е. ранги обеих систем совпадают. Пусть теперь совпадают ранги этих систем. Выберем какую-либо базу из a1, a2, . . . , am. Она же будет базой системы a1, a2, . . . , am, b. Следовательно, вектор b линейно выражается через часть векторов системы a1, a2, . . . , am. Так как он может быть представлен в виде линейной комбинации и всех векторов a1, a2, . . . , am, то это означает совместимость системы.

задан 2 Дек '16 14:52

изменен 2 Дек '16 20:55

@neqwewer1121: я сейчас ещё раз посмотрел -- не понимаю, зачем Вам было выписывать систему линейных уравнений? Если эту часть текста просто убрать, и начать со слов "предположим, что вектор b является линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , am", то получится довольно короткое и верное доказательство. То есть достаточно оставить последний абзац -- остальное не имеет к делу отношения.

(3 Дек '16 0:19) falcao

то есть мое док-во верное? просто начать со слов "предположим, что вектор....
какое док-во точнее, мое или ваше? какое лучше написать?

(3 Дек '16 8:05) neqwewer1121

@neqwewer1121: если Ваше доказательство сократить, оставив в нём только то, что реально используется, то оно будет верное. То рассуждение, которое у меня было изложено, является равноценным. Так что можете остановиться на любом из вариантов.

Вообще-то здесь основной момент -- это то, что все базы состоят из одного и того же количества векторов, равного рангу. Оно считается доказанным раньше, и на него можно ссылаться. А всё остальное здесь достаточно просто.

(3 Дек '16 13:05) falcao

спасибо)))

(3 Дек '16 23:56) neqwewer1121

@neqwewer1121: я на всякий случай расскажу, по какой схеме это утверждение доказывается в том курсе, который я читаю. Там при рассмотрении понятия подпространства доказывается, что размерность подпространства (для конечномерного случая) не превосходит размерности пространства, а равенство размерностей имеет место только при совпадении пространств. Тогда dim L(a1,...,a_m)=dim L(a1,...,a_m,b) <=> L(a1,...,a_m)=L(a1,...,a_m,b) <=> b \in L(a1,...,a_m). Это немного абстрактно, но не привлекается основная лемма о линейной зависимости, которая доказывается позже.

(4 Дек '16 2:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

О системе линейных уравнений принято говорить, что она совместна.

Здесь уместно говорить не столько об ошибках, сколько о том, не является ли изложенное доказательство слишком запутанным. Например, зачем нужно выписывать системы линейных уравнений? Это имеет смысл делать в рамках доказательства теоремы Кронекера - Капелли. Но если известны основные свойства систем векторов и их баз, то всё делается проще. Более того, сам факт верен для произвольных векторных пространств (например, для пространств функций и т.п.), а не только для арифметических.

Можно рассуждать так. Пусть имеется система векторов $%a_1,...,a_m$% ранга $%r$%. Тогда она имеет базу из $%r$% векторов, которые можно считать первыми $%r$% векторами системы. Добавим к системе новый вектор $%b$%. Рассмотрим два случая.

1) Система $%a_1,...,a_r,b$% линейно независима. В этом случае $%b$% не может выражаться через векторы $%a_1,...,a_m$%, так как в противном случае он выражался бы и через $%a_1,...,a_r$%, вопреки линейной независимости. Далее, система $%a_1,...,a_r,b$% состоит из $%r+1$% вектора, через неё выражаются все остальные векторы новой системы, и она линейно независима. Значит, она является базой новой системы, и значение ранга стало равно $%r+1$%, то есть оно изменилось.

2) Система $%a_1,...,a_r,b$% линейно зависима. Рассмотрим уравнение линейной зависимости с коэффициентами, не равными нулю одновременно. Коэффициент при $%b$% не может равняться нулю: в противном случае получилось бы, что система $%a_1,...,a_r$% линейно зависима. Значит, вектор $%b$% можно выразить через $%a_1,...,a_r$% после деления на ненулевой коэффициент. Система $%a_1,...,a_r$% остаётся базой новой системы, так как через неё всё выражается. Ранг остаётся равен $%r$%.

ссылка

отвечен 2 Дек '16 15:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×331
×34
×12

задан
2 Дек '16 14:52

показан
623 раза

обновлен
4 Дек '16 2:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru