теория-вероятностей - Теория вероятностей

Если имеется в виду биекция $%A$% на $%B$%, то количества должны совпадать. Тогда при $%a\ne b$% ответом будет 0. Если же $%a=b$%, то общее количество функций из $%A$% в $%B$% равно $%a^a$%, и биекций из них будет ровно столько, сколько перестановок. Вероятность того, что случайно взятая функция будет биективна, равна $%a!/a^a$%.

Если в условии имелись в виду биекции $%A$% на некоторое подмножество $%B$%, то тогда имело смысл говорить об инъекциях. Здесь необходимым условием их существования является неравенство $%a\le b$%: при $%a > b$% вероятность равна нулю. Число инъективных функций в случае выполнения неравенства равно числу размещений из $%b$% по $%a$%, а число всех функций равно числу размещений с повторениями, то есть $%b^a$%. Вероятность при этом равна отношению $%\dfrac{b(b-1)...(b-(a-1))}{b^a}$%, что можно также записать в виде $%(1-\frac1b)(1-\frac2b)...(1-\frac{a-1}b)$%.

Можно дополнительно отметить, что при $%b=365$% и $%a=23$% эта формула возникает в хорошо известном "парадоксе дней рождения": вероятность из предыдущего абзаца оказывается меньше 1/2. Это отражает тот факт, что у случайно взятых 23 человек какие-то дни рождения совпадут с вероятностью более 50 процентов (29 февраля для простоты не учитывается).