аналитическая-геометрия - Матрица оператора симметрии

1 способ. Выберем новый ортогональный базис $%e_1=(1, 3); e_2 = (-3,1)$%. В этом базисе преобразование имеет вид $%A(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1e_1 - x_2 e_2$%
Пусть $%r = (x, y) = x_1e_1 + x_2e_2$%. Тогда $%x_1 = {x + 3y\over 10},x_2 = {y- 3x\over 10}$% и $%Ar = {x + 3y\over 10}e_1 -{y- 3x\over 10}e_2 = ({-4x+3y\over 5}, {3x + 4y\over 5})$%. Значит, матрица преобразования имеет вид $%\begin{bmatrix}-{4\over 5}&{3\over 5}\\ {3\over 5}&{4\over 5}\end{bmatrix}$% .

2 способ. Преобразование симметрии есть движение, меняющее ориентацию и сохраняющее неподвижной ось симметрии. Его матрица - ортогональная с отрицательным определителем. Значит, ее можно записать в виде $%\begin{bmatrix}-a &b\\ b&a\end{bmatrix}$% , где $%a^2 + b^2 = 1$%. Точки прямой $%y = 3x$% должны переходить сами в себя, то есть $%-ax + 3bx = x; bx + 3ax = 3x$%. Из этой системы можно найти $%a$% и $%b.$%

Существуют и другие способы решения задачи.