интегралы - Найти объем тела, ограниченного поверхностью

Перейдите к сферическим координатам.

$% x=r\cos\phi\cos\psi $%, $% y=r\cos\phi\sin\psi $%, $% z=r\sin\psi $%, тогда $% |J| = r^2\cos\psi $%. Идем дальше, подставляем, $% r^2(\cos^2\phi + \sin^2\psi)^3 = a^2\sin^4\psi $%. Получили, что $% 0 \le r \le \frac{|a|\sin^2\psi}{(\cos^2\phi + \sin^2\psi)^{3/2}} $%. А теперь нужно решить интеграл:

$$ \int\limits_{0}^{2\pi} d\phi \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} d\psi \int\limits_0^{\frac{|a|\sin^2\psi}{(\cos^2\phi + \sin^2\psi)^{3/2}}} r^2\cos\psi dr $$

Но это нереально...

@plitka, откуда у Вас такие ужасы при замене границы получаются?... $%x^2+y^2+z^2=r^2$%...

@all_exist, ну я сделал замену переменных x, y, z, теперь подставляю их в уравнение. Как по-другому можно?

@plitka: никто не говорит, что это уравнение задаёт сферу, но сферическая замена специально так подобрана, чтобы выполнялось уравнение x^2+y^2+z^2=r^2. Вы просто перепутали углы: должно было получиться "косинус квадрат ПСИ плюс синус квадрат пси". Если это исправить, то всё встанет на свои места.