Всем привет. Есть вот такая задачка: Рассматриваются только левые R-подмодули модуля M Пусть $$A\leq M$$, $$M/A$$ - свободный модуль, тогда существует $$B\leq M: M = A \oplus B$$ Собственно, с чего начать решение?

задан 8 Дек '16 16:48

изменен 8 Дек '16 17:32

Знак принадлежности неуместен в таком контексте. Мы хотим сказать, что A -- подмодуль M. Это ведь не то же самое, что A принадлежит M? Надо говорить или словами, или ввести обозначение типа $%A\le M$%.

Писать столько индексов R слева внизу тоже неуместно: информации это не несёт, а от букв рябит в глазах. Проще всего в начале сказать словами, что рассматриваются левые R-модули. И потом писать просто буквы.

(8 Дек '16 17:15) falcao

@falcao, поправил. Спасибо за советы.

(8 Дек '16 17:26) Pennywise
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь всё следует почти прямо из определений. Поскольку фактормодуль $%M/A$% свободен, он имеет свободный базис, который состоит из смежных классов вида $%m+A$%, где элементы $%m$% пробегают некоторое множество $%X$%. Рассмотрим левый $%R$%-подмодуль $%B$%, порождённый множеством $%X$%. Проверим, что $%A+B=M$% и $%A\cap B=0$%. Это будет значить, что $%M=A\oplus B$%.

Пусть $%m\in M$% -- произвольный элемент. Тогда смежный класс $%m+A$% принадлежит фактормодулю. Следовательно, его можно разложить по базису, то есть существуют $%x_1,...,x_n\in X$% и $%r_1,...,r_n\in R$% такие, что $%m+A=r_1(x_1+A)+\cdots+r_n(x_n+A)$%. При этом элемент $%a=m-(r_1x_1+\cdots+r_nx_n)$% принадлежит $%A$%, а выражение в скобках взято из подмодуля $%B$%. Получается, что $%m=a+b$%, где $%a\in A$%, $%b\in B$%. Первый факт проверен.

Теперь пусть $%a\in A\cap B$%. Отсюда следует существование таких $%x_1,...,x_n\in X$% и $%r_1,...,r_n\in R$%, что $%a=r_1x_1+\cdots+r_nx_n$%. Для элементов фактормодуля это даёт $%A=a+A=r_1(x_1+A)+\cdots+r_n(x_n+A)$%. Сумма в правой части задаёт нулевой элемент свободного модуля, поэтому коэффициенты при базисных элементах должны быть равны нулю: $%r_1=\cdots=r_n=0$%. Поэтому $%a=0$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 8 Дек '16 17:30

изменен 10 Дек '16 10:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×509
×254

задан
8 Дек '16 16:48

показан
331 раз

обновлен
10 Дек '16 10:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru