анализ - Дифференциал функции

Функция не является непрерывной, так что и дифференциала у нее нет.
Действительно, положив $%x = r\cos\alpha, y=r\sin\alpha$% получаем, что $%f(x, y) = {1\over 2}\sin 2\alpha$%, что не имеет предела при $%r\to 0$%

Дополнение после исправления задания. Боюсь, дифференциала все равно не будет. По определению, $%\Delta f = C_1\Delta x + C_2 \Delta y + o(r)$%. В данном примере $%\Delta f = f, \Delta x = x, \Delta y = y$%. Найдем частные дифференциалы. Если $%\Delta y = 0$%, то $%\Delta f = 0 $%, откуда $%C_1 = 0$%. Аналогично получаем, что $%C_2 = 0$%. Если дифференциал существует, то он равен 0. Но тогда должно выполняться равенство $%\Delta f = o(r)$%. Имеем $%\Delta f = f = r\cos^2 \alpha \sin \alpha \ne o(r)$%.

Если бы в числителе и игрек был в квадрате, то в 0 существовал бы дифференциал, равный 0.