0
1

Для функции $%f(x;y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2},x^2+y^2\ne0 ,\\ 0,x^2+y^2=0\end{cases},$% найти дифференциал в точке $%(0;0).$%

задан 20 Дек '12 18:01

изменен 21 Дек '12 15:42

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Извините, получилась опечатка. Исправил.

(21 Дек '12 10:54) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция не является непрерывной, так что и дифференциала у нее нет.
Действительно, положив $%x = r\cos\alpha, y=r\sin\alpha$% получаем, что $%f(x, y) = {1\over 2}\sin 2\alpha$%, что не имеет предела при $%r\to 0$%

Дополнение после исправления задания. Боюсь, дифференциала все равно не будет. По определению, $%\Delta f = C_1\Delta x + C_2 \Delta y + o(r)$%. В данном примере $%\Delta f = f, \Delta x = x, \Delta y = y$%. Найдем частные дифференциалы. Если $%\Delta y = 0$%, то $%\Delta f = 0 $%, откуда $%C_1 = 0$%. Аналогично получаем, что $%C_2 = 0$%. Если дифференциал существует, то он равен 0. Но тогда должно выполняться равенство $%\Delta f = o(r)$%. Имеем $%\Delta f = f = r\cos^2 \alpha \sin \alpha \ne o(r)$%.

Если бы в числителе и игрек был в квадрате, то в 0 существовал бы дифференциал, равный 0.

ссылка

отвечен 21 Дек '12 1:42

изменен 21 Дек '12 11:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×317

задан
20 Дек '12 18:01

показан
454 раза

обновлен
21 Дек '12 15:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru