Являются ли изоморфными следующие пары моделей?

1) $%(\mathbb Q, x + y = z)\ и\ (\mathbb Z, x + y = z)$%

2) $%(\mathbb N, x * y = z)\ и\ (\mathbb Z, x * y = z)$%

3) $%(\mathbb Z_5, x - y = 2)\ и\ (\mathbb Z_5, x - y = 1)$%

4) $%(\mathbb Z_6, x - y = 2)\ и\ (\mathbb Z_6, x - y = 1)$%

задан 9 Дек '16 0:18

изменен 9 Дек '16 0:24

10|600 символов нужно символов осталось
3

1) Рассмотрим замкнутую формулу $%(\forall z)(\exists x)(x+x=z)$%. Она истинна на первой модели ввиду возможности деления пополам, и ложна на второй ввиду наличия нечётных чисел. Значит, модели не изоморфны.

2) Рассмотрим уравнение $%x\ast x=1$%. В области натуральных чисел оно имеет только одно решение, являющееся нейтральным элементом модели относительно операции. Во втором случае есть ещё решение $%x=-1$%, которое этим свойством не обладает. Поэтому замкнутая формула $%(\forall x)((x\ast x=1)\to(\forall y)(x\ast y=y))$% будет истинна в первом случае и ложна во втором. Предикат $%x\ast x=1$% здесь следует считать краткой записью формулы $%(\forall t)(\exists s)((tx=s)\,\&\,(sx=t))$%.

Модели не элементарно эквивалентны, а потому не изоморфны.

3) Здесь имеется изоморфизм, переводящий 0, 1, 2, 3, 4 в 0, 3, 1, 4, 2 соответственно. Он может быть описан формулой $%\phi(x)=3x$% по модулю 5. Это биекция, и из $%x-y=2$% следует $%\phi(x)-\phi(y)=3(x-y)=1$%, то есть это изоморфизм моделей.

4) В первом случае из условий $%x-y=y-z=2$% следует $%z-x=2$% по модулю 6. Во втором случае из условий $%x-y=y-z=1$% следует $%z-x=4\ne1$% по модулю 6. Тогда, если $%P(x,y)$% -- двуместный предикат языка модели, то формула $%(\forall x)(\forall y)(\forall z)(P(x,y)\,\&\,P(y,z)\to P(z,x))$% различает две модели, то есть они не изоморфны.

ссылка

отвечен 9 Дек '16 0:45

изменен 10 Дек '16 2:26

1

@falcao, а разве -1 * (-1) = -1? Это про второй пункт.

(10 Дек '16 1:23) fermat

@fermat: да, Вы правы. Я сейчас исправлю.

(10 Дек '16 2:22) falcao

А в 3 предикаты не должны быть равны? У Вас получается |4-1| != 2, но $%|\phi(4)-\phi(1)|=|2-3|==1$%

(11 Дек '16 17:59) lugo
1

@lugo: в задании номер 3 нет модуля. Там просто разность.

(11 Дек '16 19:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×828
×399

задан
9 Дек '16 0:18

показан
1126 раз

обновлен
11 Дек '16 19:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru