математическая-логика - Проверка на изоморфность

1) Рассмотрим замкнутую формулу $%(\forall z)(\exists x)(x+x=z)$%. Она истинна на первой модели ввиду возможности деления пополам, и ложна на второй ввиду наличия нечётных чисел. Значит, модели не изоморфны.

2) Рассмотрим уравнение $%x\ast x=1$%. В области натуральных чисел оно имеет только одно решение, являющееся нейтральным элементом модели относительно операции. Во втором случае есть ещё решение $%x=-1$%, которое этим свойством не обладает. Поэтому замкнутая формула $%(\forall x)((x\ast x=1)\to(\forall y)(x\ast y=y))$% будет истинна в первом случае и ложна во втором. Предикат $%x\ast x=1$% здесь следует считать краткой записью формулы $%(\forall t)(\exists s)((tx=s)\,\&\,(sx=t))$%.

Модели не элементарно эквивалентны, а потому не изоморфны.

3) Здесь имеется изоморфизм, переводящий 0, 1, 2, 3, 4 в 0, 3, 1, 4, 2 соответственно. Он может быть описан формулой $%\phi(x)=3x$% по модулю 5. Это биекция, и из $%x-y=2$% следует $%\phi(x)-\phi(y)=3(x-y)=1$%, то есть это изоморфизм моделей.

4) В первом случае из условий $%x-y=y-z=2$% следует $%z-x=2$% по модулю 6. Во втором случае из условий $%x-y=y-z=1$% следует $%z-x=4\ne1$% по модулю 6. Тогда, если $%P(x,y)$% -- двуместный предикат языка модели, то формула $%(\forall x)(\forall y)(\forall z)(P(x,y)\,\&\,P(y,z)\to P(z,x))$% различает две модели, то есть они не изоморфны.