Каждое целое число на координатной прямой покрашенной в один из двух цветов-белый или чёрный,причём числа 2016 и 2017 покрашены в разные цвета.Обязательной ли можно найти три одинаково покрашенных целых числа,сумма которых равнялась нулю.

задан 9 Дек '16 21:11

Олимпионик, таки...

(9 Дек '16 22:37) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим через $%W$% и $%B$% соответственно множества чисел, окрашенных в белый и чёрный цвета. Можно считать, что $%k\in W$% и $%k+1\in B$%, где $%k=2016$%. Будем рассуждать от противного, считая, что у трёх попарно различных чисел, в сумме равных нулю, цвета не могут быть одинаковыми. Тогда применим следующий принцип: если цвета точек $%x\ne y$% совпадают, то у точки $%-(x+y)$% цвет будет противоположным (при условии, что это третье число отличается от каждого из первых двух). Этот принцип будем применять многократно, приходя к противоречию. Рассматриваем два случая.

1) $%0\in W$%. Точки $%0$% и $%k$% имеют белый цвет, поэтому $%-k\in B$%. Теперь точки $%-k$% и $%k+1$% имеют чёрный цвет, откуда $%-1\in W$%. Дальше по тому же принципу $%1\in B$%; $%k-1\in W$%; $%-(k-1)\in B$%; $%-2\in W$%; $%2\in B$%; $%k-2\in W$%; $%-(k-2)\in B$%; $%-3\in W$%; $%3\in B$%; ... и так далее. На некотором шаге мы получим числа $%\frac{k}2-1,\frac{k}2,\frac{k}2+1\in B$%, и тогда первое и третье из них в сумме с чёрным числом $%-k$% дадут ноль.

2) $%0\in B$%. Здесь рассуждаем аналогично. Ясно, что $%-(k+1)\in W$%; $%1\in B$%; $%-1\in W$%; $%-(k-1)\in B$%; $%-2\in W$%; ... , и все числа $%-1$%, $%-2$%, $%-3$%, ... оказываются черными. Тогда $%3$%, $%4$%, $%5$%, ... должны быть белыми, и так мы снова дойдём до чисел $%\frac{k}2,\frac{k}2+1$%, которые в сумме с белым числом $%-(k+1)$% дадут ноль.

ссылка

отвечен 10 Дек '16 9:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×741
×664

задан
9 Дек '16 21:11

показан
563 раза

обновлен
10 Дек '16 9:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru