Найти условие, при котором для двух случайных величин, каждая из которых принимает всего два значения, некоррелированность эквивалентна независимости.

задан 10 Дек '16 15:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Не уменьшая общности можно считать, что обе СВ принимают значения $%0$% и $%1$%... то есть совместный закон распределения имеет вид $$ \begin{matrix} X\setminus Y & | & 0 & 1\\ ---& + &-&- \\ 0 & | & p_{11} & p_{12}\\ 1 & | & p_{21} & p_{22} \end{matrix} $$ Тогда матожидания и момент произведения равны $$ MX=p_{21} + p_{22}, \quad MY=p_{12} + p_{22}, \quad M(XY)=p_{22} $$ СВ некоррелированы, если равен нулю корреляционный момент (ковариация) $$ \text{Cov}(X;Y)=M(XY)-MX\cdot MY=p_{22}-(p_{21} + p_{22})\cdot(p_{12} + p_{22})=0 $$ $$ -p_{12}\cdot p_{21}+(1-p_{12} - p_{21})\cdot p_{22} - p_{22}^2=0 $$ $$ -p_{12}\cdot p_{21}+(p_{11} + p_{22})\cdot p_{22} - p_{22}^2=0 $$ $$ -p_{12}\cdot p_{21}+p_{11} \cdot p_{22}=0 $$ что и означает независимость СВ, так как условные законы распределения не будут зависеть от значений СВ, поскольку или $$ \frac{p_{11}}{p_{21}}=\frac{p_{12}}{p_{22}} $$

Понятно, что выполнение последнего равенства возможно, например, при $%p_{11}=p_{12}=0$%... но это означало бы, что СВ $%X$% принимает значение $%0$% с нулевой вероятностью, что противоречит понятию закона распределения двумерной СВ...

ссылка

отвечен 10 Дек '16 18:06

Можно добавить, что некоррелированность здесь означает P(AB)=P(A)P(B) для событий A={X=1}, B={Y=1}. Из независимости двух событий следует независимость одного из событий и дополнения другого. Значит, равенство P(AB)=P(A)P(B) будет верно для любых событий вида A={X=a}, B={Y=b} при a,b равных 0 или 1 во всех вариантах. А это и есть независимость двух таких с.в.

(11 Дек '16 4:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,422
×133

задан
10 Дек '16 15:49

показан
404 раза

обновлен
11 Дек '16 4:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru