|
$$sinz=i \Leftrightarrow sin(x+iy)=i \Leftrightarrow sinxchy+icosxshy=i\Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} sinxchy=0 \\ cosxshy=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} sinx\frac{e^y+e^{-y}}{2}=0 \\ cosx\frac{e^y-e^{-y}}{2}=1 \end{cases} \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} sinx=0 \\ cosx\frac{e^y-e^{-y}}{2}=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=\pi k \\ (-1)^k\frac{e^y-e^{-y}}{2}=1 \end{cases}$$ При $%k=2n (n\in Z) $% , имеем $%\frac{e^y-e^{-y}}{2}=1 \Leftrightarrow e^y=\sqrt2+1 \Leftrightarrow y=ln(\sqrt2+1).$% Решение будет $%z=2\pi n+iln(\sqrt2+1) (n\in Z) $% При $%k=2n+1 (n\in Z) $% , имеем $%\frac{e^y-e^{-y}}{2}=-1 \Leftrightarrow e^y=\sqrt2-1 \Leftrightarrow y=ln(\sqrt2-1).$% Решение будет $%z=\pi(2n+1)+iln(\sqrt2-1) (n\in Z) $% отвечен 22 Дек '12 18:04 
ASailyan Вот спасибо! Причем, большое-большое!
(22 Дек '12 18:14)
flida
|
|
$$z_1=Arcsin(i)=-i\cdot Ln(i\cdot i+\sqrt{1-i^2})=-iLn(\sqrt{2}-1)=-i\cdot ln(\sqrt{2}-1)+2n\pi, n\in Z.$$ $%z_2=\pi - z_1=i\cdot ln(\sqrt{2}-1)+(2m+1)\pi, m\in Z.$% Объединяя эти два решения, получим: $$z=(-1)^kiLn(\sqrt{2}+1)+k\pi,k\in Z.$$ Использованные соотношения: $$Arcsin(z)=-iLn(iz+\sqrt{1-z^2});Ln(z)=lnz+2k\pi i, k\in Z, sin(\pi-z)=sinz.$$ отвечен 22 Дек '12 17:52 
Anatoliy Я не поняла, откуда получается второе равенство? Xnj z=Arcsin(i) понятно, а дальше? СПАСИБО ВАМ БОЛЬШОЕ,
(22 Дек '12 17:59)
flida
Посмотрите формулы, связывающие между собой элементарные функции комплексной переменной.
(22 Дек '12 18:14)
Anatoliy
Спасибо, обязательно!
(22 Дек '12 19:07)
flida
|