|
Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить вот такую задачу: $%A$% - квадратная матрица $%n\cdot n$%, $%C$% - союзная (присоединённая) к ней матрица. Верно ли, что $%|C|$% $%=$% $%|A|^{n-1}$%? Ответ я знаю (верно), вот только доказать никак не могу. Если кто поможет, заранее спасибо. Вот примерное доказательство, можете оценить? Доказательство: Рассмотрим произведение $%D = A \cdot C$%: $%d_{ij}=a_{i1}C_{j1}+a_{i2}C_{j2}+ \cdots +a_{in}C_{jn}$% Если $%i \ne j$%, то выражение $%d_{ij}=a_{i1}C_{j1}+a_{i2}C_{j2} +...+a_{in}C_{jn}$% представляет собой сумму произведений $%i$%-й строки матрицы $%A$% на алгебраические дополнения элементов другой строки. Согласно следствию 2 из теоремы Лапласа, оно равно нулю. Следовательно, все элементы матрицы $%D$% , находящейся вне главной диагонали, равны нулю, т.е. матрица $%D$% является диагональной $%\Rightarrow$% $%A\cdot C$% = $%|A|\cdot E$% $%\Rightarrow$% $%|A\cdot C|$% = $%|A|^n$% $%\Rightarrow$% $%|A| \cdot |C|$% = $%|A| \cdot |A|^{n-1}$% $%\Rightarrow$% $%|C|$% = $%|A|^{n-1}$% Ответ: Да, верно. задан 22 Дек '12 21:14 
darklagger |
|
$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}&...a_{1n}\\a_{21}& a_{22} &...a_{2n}\\...&...&......\\a_{n1}& a_{n2}&...a_{nn}\end{pmatrix};A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot C=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}A_{11} & A_{21}&...A_{n1}\\A_{12}& A_{22} &...A_{n2}\\...&...&......\\A_{1n}& A_{2n}&...A_{nn}\end{pmatrix};$$$$\Big|A^{-1}\Big|=\frac{1}{|A|}=\frac{|C|}{|A|^n}\Rightarrow|C|=|A|^{n-1}.$$ отвечен 23 Дек '12 18:47 
Anatoliy |
|
Если перемножить исходную матрицу и присоединенную, то получим диагональную с $%|A|$% на диагонали. Да. (Только нумерацию следствий я не знаю) отвечен 23 Дек '12 3:49 
varaksin |