теория-вероятностей - Плотность случайной величины

Рассмотрим СВ $%W=X\cdot Y$%... её ФР $%F_{W}(\alpha)$% равна нулю при $%\alpha < 0$% и единице при $%\alpha > 1$%... При $%\alpha \in [0;1]$% согласно указанной в комментарии теореме получим $$ F_{W}(\alpha)=\iint\limits_{[0;1]^2 \cap xy < \alpha}1\,dx\,dy = \alpha+\int\limits_{\alpha}^{1}\frac{\alpha}{x}\,dx = \alpha - \alpha\cdot\ln \alpha $$ Тогда плотность этой СВ равна $$ f_{W}(\alpha)=-\ln \alpha $$ Дальше рассматриваем СВ $%S=W^Z$%... у неё так же ФР $%F_{S}(\beta)$% равна нулю при $%\beta < 0$% и единице при $%\beta > 1$%... и снова по теореме получаем, что при $%\beta \in [0;1]$% $$ F_{S}(\beta)=\iint\limits_{[0;1]^2 \cap s^z < \beta}(-\ln s)\,ds\, dz $$ Если сделать замену $%u=\ln s,\;v=z$%, то $%(s;z)\in[0;1]^2\to(u;v)\in(-\infty;\ln\beta]\times [0;1]$%... получим $$ F_{S}(\beta)=\iint\limits_{(-\infty;\ln\beta]\times [0;1] \cap uv < \ln\beta}(-u\cdot e^u)\,du\, dv =\int\limits_{-\infty}^{\ln\beta}(-u\cdot e^u)\,du \int\limits_{\frac{\ln\beta}{u}}^{1} 1\;dv = \ldots = \beta $$