2
1

Случайные величины

$$X,\ Y,\ Z$$ независимые с равномерным распределением на [0;1].

Требуется найти плотность случайной величины: $$W= (XY)^Z$$

задан 15 Дек '16 20:22

Теорема 28... примените сначала для $%\xi=XY$%... а потом для $%\xi^Z$%...

(15 Дек '16 23:01) all_exist

@all_exist: я считал не очень внимательно, но такое ощущение, что там возникает что-то типа эйлеровых интегралов.

(15 Дек '16 23:29) falcao

@falcao, всё может быть... (я их вообще не считал... :)... )

(15 Дек '16 23:39) all_exist

@all_exist: я внимательно тоже не считал -- только "прикидывал". Но не исключаю, что со сложностью задания составители могли "перебрать" (то есть сами тоже не считали, а просто предложили такой пример :))

(16 Дек '16 0:07) falcao
1

Прикнинул... вроде все интегралы нестрашные... правда, распределение опять равномерное получилось... возможно где-то обсчитался, а может так и должно быть...

(16 Дек '16 3:44) all_exist

@all_exist: если и вправду равномерное, то это весьма интересная задача. Сейчас я численно проверю методом Монте - Карло.

P.S. Проверил. И в самом деле равномерное. Удивительно!

(16 Дек '16 8:30) falcao

@all_exist: будет очень хорошо, если изложите решение.

(16 Дек '16 8:42) falcao

ну, попробую вкратце изложить...

(16 Дек '16 8:45) all_exist
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим СВ $%W=X\cdot Y$%... её ФР $%F_{W}(\alpha)$% равна нулю при $%\alpha < 0$% и единице при $%\alpha > 1$%... При $%\alpha \in [0;1]$% согласно указанной в комментарии теореме получим $$ F_{W}(\alpha)=\iint\limits_{[0;1]^2 \cap xy < \alpha}1\,dx\,dy = \alpha+\int\limits_{\alpha}^{1}\frac{\alpha}{x}\,dx = \alpha - \alpha\cdot\ln \alpha $$ Тогда плотность этой СВ равна $$ f_{W}(\alpha)=-\ln \alpha $$ Дальше рассматриваем СВ $%S=W^Z$%... у неё так же ФР $%F_{S}(\beta)$% равна нулю при $%\beta < 0$% и единице при $%\beta > 1$%... и снова по теореме получаем, что при $%\beta \in [0;1]$% $$ F_{S}(\beta)=\iint\limits_{[0;1]^2 \cap s^z < \beta}(-\ln s)\,ds\, dz $$ Если сделать замену $%u=\ln s,\;v=z$%, то $%(s;z)\in[0;1]^2\to(u;v)\in(-\infty;\ln\beta]\times [0;1]$%... получим $$ F_{S}(\beta)=\iint\limits_{(-\infty;\ln\beta]\times [0;1] \cap uv < \ln\beta}(-u\cdot e^u)\,du\, dv =\int\limits_{-\infty}^{\ln\beta}(-u\cdot e^u)\,du \int\limits_{\frac{\ln\beta}{u}}^{1} 1\;dv = \ldots = \beta $$

ссылка

отвечен 16 Дек '16 9:06

изменен 16 Дек '16 9:14

@all_exist: я начинал примерно так же, но в конце запутался в пределах интегрирования. А тут всё чётко получилось.

(16 Дек '16 9:44) falcao

@falcao, тут в принципе и без последней замены всё хорошо получается... $$ F_S(\beta)=\int_0^{\beta}(-\ln s)\,ds\;\int_{\frac{\ln\beta}{\ln s}}^1 1\;dz=\ldots $$ просто после замены множество понагляднее получается...

(16 Дек '16 10:15) all_exist

@all_exist: там "хитрость", которую я не заметил, была в отрицательности значения логарифма и смене знака неравенства. Я именно этот момент недоглядел.

(16 Дек '16 10:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,809

задан
15 Дек '16 20:22

показан
337 раз

обновлен
16 Дек '16 10:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru