Необходимо привести пример последовательности функций из $%L^1(0,\infty)\bigcap L^3(0,\infty)$%, сходящейся по норме пространства $%L^3(0,\infty)$%, но не сходящейся по норме пространства $%L^1(0,\infty)$%.

задан 16 Дек '16 19:06

изменен 16 Дек '16 21:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну, наверное подойдёт $$ f_n(x)=\begin{cases} \frac{1}{x},& x\in(1;n) \\ 0,& x\not\in(1;n) \end{cases} $$ предельная функция принадлежит $%L_3$% и не принадлежит $%L_1$%...

ссылка

отвечен 16 Дек '16 22:20

Спасибо!!!

(16 Дек '16 23:16) nobody

@all_exist, у меня не получается доказать, что $%f_n$% сходится по норме $%L^3_{(0,∞)}$% $$\lim_{n\rightarrow∞} (( \int_1^n (\frac{1}{x^3} dx))^{1/3})=(\frac{1}{2})^{1/3}$$

(17 Дек '16 3:28) nobody

@nobody: надо доказывать, что f_n(x) сходится к 1/x, то есть рассматривать норму разности двух этих функций. Модуль разности равен 0 при x<n и 1/x при x>n. Поэтому интегрируем 1/x^3 в пределах от n до бесконечности. Там будет величина, стремящаяся к нулю при n->\infty.

(17 Дек '16 7:40) falcao

Что-то я совсем запуталась:

Модуль разности на $%(0,1)$% равен тоже $%1/x$%.

И получается для $%x\in(0,1)\cup(n,\infty), ||f_n(x)-\frac{1}{x}||=(\int_0^1|\frac{1}{x}|^3+\int_n^\infty|\frac{1}{x}|^3)^{1/3}$%.

И вот тут непонятно, что с $%\int_0^1|\frac{1}{x}|^3$% делать...

(18 Дек '16 0:56) nobody

@nobody: на (0,1) функции f_n нулевые, и предельная функция тоже. То есть она равна 1/x при x>1, а на (0,1) всё нулевое, и дополнительного члена не возникает.

(18 Дек '16 1:13) falcao

@falcao, тогда ещё такой вопрос возникает:

Если это $%||f_n(x)-\frac{1}{x}||{L{(0,1)}^1}=\int_n^\infty|\frac{1}{x}|\nrightarrow (n\longrightarrow\infty)0$% верно, то как это можно показать?

(18 Дек '16 2:01) nobody

@nobody: эта запись ошибочна, потому что рассматривается норма функции, которая пространству L^1 не принадлежит. Вам надо доказать, что f_n в L^1 никуда не сходится. Для этого достаточно применить критерий Коши. Если рассмотреть норму ||f_n-f_{2n}||, то будет интеграл dx/x от n до 2n. Он равен ln 2, и к нулю не стремится.

(18 Дек '16 2:52) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×269
×223
×64

задан
16 Дек '16 19:06

показан
402 раза

обновлен
18 Дек '16 2:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru