|
Необходимо привести пример последовательности функций из $%L^1(0,\infty)\bigcap L^3(0,\infty)$%, сходящейся по норме пространства $%L^3(0,\infty)$%, но не сходящейся по норме пространства $%L^1(0,\infty)$%. задан 16 Дек '16 19:06 
nobody |
|
Ну, наверное подойдёт $$ f_n(x)=\begin{cases} \frac{1}{x},& x\in(1;n) \\ 0,& x\not\in(1;n) \end{cases} $$ предельная функция принадлежит $%L_3$% и не принадлежит $%L_1$%... отвечен 16 Дек '16 22:20 
all_exist Спасибо!!!
(16 Дек '16 23:16)
nobody
@all_exist, у меня не получается доказать, что $%f_n$% сходится по норме $%L^3_{(0,∞)}$% $$\lim_{n\rightarrow∞} (( \int_1^n (\frac{1}{x^3} dx))^{1/3})=(\frac{1}{2})^{1/3}$$
(17 Дек '16 3:28)
nobody
@nobody: надо доказывать, что f_n(x) сходится к 1/x, то есть рассматривать норму разности двух этих функций. Модуль разности равен 0 при x<n и 1/x при x>n. Поэтому интегрируем 1/x^3 в пределах от n до бесконечности. Там будет величина, стремящаяся к нулю при n->\infty.
(17 Дек '16 7:40)
falcao
Что-то я совсем запуталась: Модуль разности на $%(0,1)$% равен тоже $%1/x$%. И получается для $%x\in(0,1)\cup(n,\infty), ||f_n(x)-\frac{1}{x}||=(\int_0^1|\frac{1}{x}|^3+\int_n^\infty|\frac{1}{x}|^3)^{1/3}$%. И вот тут непонятно, что с $%\int_0^1|\frac{1}{x}|^3$% делать...
(18 Дек '16 0:56)
nobody
@nobody: на (0,1) функции f_n нулевые, и предельная функция тоже. То есть она равна 1/x при x>1, а на (0,1) всё нулевое, и дополнительного члена не возникает.
(18 Дек '16 1:13)
falcao
@falcao, тогда ещё такой вопрос возникает: Если это $%||f_n(x)-\frac{1}{x}||{L{(0,1)}^1}=\int_n^\infty|\frac{1}{x}|\nrightarrow (n\longrightarrow\infty)0$% верно, то как это можно показать?
(18 Дек '16 2:01)
nobody
@nobody: эта запись ошибочна, потому что рассматривается норма функции, которая пространству L^1 не принадлежит. Вам надо доказать, что f_n в L^1 никуда не сходится. Для этого достаточно применить критерий Коши. Если рассмотреть норму ||f_n-f_{2n}||, то будет интеграл dx/x от n до 2n. Он равен ln 2, и к нулю не стремится.
(18 Дек '16 2:52)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|