Сколько подгрупп порядка p^2 содержит группа S_2p, где p - простое?

задан 17 Дек '16 23:16

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для случая $%p=2$% нужно дать отдельное описание. Здесь могут существовать циклические подгруппы порядка 4. Циклов длиной 4 имеется 6, и в каждой циклической подгруппе есть 2 элемента 4-го порядка. Итого таких подгрупп три. Есть также четверная подгруппа Клейна из чётных подстановок, изоморфная произведению $%\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$%, а остальные подгруппы этой структуры содержат по 2 нечётные подстановки, то есть независимые транспозиции. Таких подгрупп три: $%\{e,(12),(34),(12)(34)\}$% и симметричные. Итого семь штук.

Теперь пусть $%p > 2$%. Здесь уже циклических подгрупп нет, так как нет элементов порядка $%p^2 > 2p$%. Можно сразу указать семейство подгрупп, изоморфных $%\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$%, беря разбиения множества $%\{1,2,...,2p\}$% на два $%p$%-элементных подмножества. Таких разбиений имеется $%C_{2p}^p/2$%. Каждому из них соответствуют подгруппы порядка $%p^2$%, порождённые парой независимых циклов длиной $%p$%. По данному $%p$%-элементному подмножеству можно указать $%(p-1)!$% способов задания цикла, и в каждой такой циклической подгруппе будет $%p-1$% элемент порядка $%p$%, то есть подгрупп такого типа будет $%(p-2)!$%. Следовательно, для пары циклов получается $%(p-2)!^2$% способов. Итого после домножения на $%C_{2p}^p/2$% будет $%(2p)!/(2p^2(p-1)^2)$%. В частности, при $%p=3$% получается 10 подгрупп порядка 9 в группе $%S_6$%. Это подгруппы, порождённые двумя независимыми циклами вида $%(1ab)$% и $%(cde)$%.

Для обоснования того, что все интересующие нас подгруппы описываются указанным способом, нужно доказать несколько вспомогательных утверждений о коммутирующих элементах порядка $%p$%. Например, цикл длиной $%p$% коммутирует или со своими степенями, или со степенями "дополнительного" цикла, а также с произведениями этих циклов. Это верно в том числе для $%p=2$%, и проверяется несложно. Аналогично, надо доказать, что произведение двух циклов длиной $%p$% также не коммутирует ни с чем "неожиданным" при $%p > 2$%. Это уже техническая сторона дела, и достаточно указать общий способ, основанный на рассмотрении сопряжённых элементов. Излагать это во всех деталях довольно длинно, и эти вещи придётся опустить.

P.S. На самом деле, здесь всё обосновывается достаточно просто. Все рассматриваемые подгруппы -- силовские, поэтому они сопряжены. Достаточно указать одну из них, что было сделано выше. Строение остальных такое же с точностью до переобозначения символов, которое и есть сопряжение.

ссылка

отвечен 19 Дек '16 2:16

изменен 19 Янв '17 23:04

Большое спасибо)

(19 Дек '16 2:39) Mesteron

Мне не очень понятно,почему мы просто утверждаем, что подгруппа порядка p^2 порождается именно парой циклов, почему циклы?

(22 Дек '16 12:28) Mesteron

@Mesteron: элементов порядка p^2 нет, поэтому подгруппа изоморфна Z(p)xZ(p). Она порождается двумя элементами порядка p. Это или циклы длиной p, или произведения двух таких независимых циклов. Но образующие должны коммутировать. Это возможно только когда циклы независимы. Случай, когда один порождающий есть цикл, а второй равен произведению двух -- это нечто вроде (123) и (123)(456), но тогда эту пару можно заменить на (123) и (456), так как она порождает ту же подгруппу.

(22 Дек '16 17:22) falcao

@falcao, "элементов порядка p^2 нет, поэтому подгруппа изоморфна Z(p)xZ(p)" - почему мы решили, что именно такой вид у подгруппы, а никакой-либо еще, у нас есть элементы порядка p, и чтобы породить подгруппу порядка p^2 нам надо два таких элемента, но почему они имеют именно вид циклов, или я задаю странные/глупые вопросы?)

(22 Дек '16 21:17) Mesteron

@Mesteron: группа порядка p^2 при простом p всегда абелева, и она изоморфна или циклической группе порядка p^2 (при p>2 это не наш случай), или же произведению двух циклических порядка p, то есть Z(p)xZ(p).

Можно напомнить ещё один простой факт: всякая подстановка разложима в произведение независимых циклов, и её порядок равен НОК длин циклов. Если порядок простой, то циклы длиной 1 не учитываем (это неподвижные элементы), а длины остальных циклов равны p. Таких циклов в рамки 2p помещается или один, или два. Скажем, в S_6 все элементы порядка 3 имеют вид (abc) или (abc)(def).

(22 Дек '16 22:23) falcao

Кажется теперь всё понял) Спасибо огромное!

(22 Дек '16 22:48) Mesteron
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,145
×864

задан
17 Дек '16 23:16

показан
883 раза

обновлен
19 Янв '17 23:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru