Доказать, что группа $%Aut(D_n)$% изоморфна полупрямому произведению $%\mathbb Z_n$% и $%Aut(\mathbb Z_n)$%

задан 18 Дек '16 17:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим произвольный автоморфизм группы диэдра $%D_n$%. Он переводит в себя подгруппу поворотов $%\mathbb Z_n$%. Действительно, все осевые симметрии имеют порядок 2, а среди поворотов порядок 2 может иметь только центральная симметрия при чётном $%n$%. Однако она является квадратом элемента группы $%D_n$% (поворота на 90 градусов), а осевые симметрии не являются квадратами никаких движений плоскости.

Таким образом, каждому элементу $%{\rm Aut}(D_n)$% мы естественным образом ставим в соответствие элемент из $%{\rm Aut}(\mathbb Z_n)$%, получая гомоморфизм групп. Его ядро будет состоять из тех автоморфизмов, которые каждый поворот переводят в себя. Обозначим через $%a$% поворот на угол $%2\pi/n$%, а через $%b$% любую из осевых симметрий. Тогда $%D_n$% состоит из элементов $%e,a,a^2,...,a^{n-1},b,ba,ba^2,...,ba^{n-1}$%.

Для каждого целого $%k$% рассмотрим отображение $%\phi_k$% множества $%D_n$% на себя, переводящее степени $%a$% тождественно в себя, и такое, что $%\phi_k(ba^x)=ba^{x+k}$% для каждого $%x$%. Легко проверяется, что оно задаёт автоморфизм группы диэдра. Действительно, $%\phi_k(a^xba^y)=\phi_k(ba^{y-x})=ba^{y-x+k}$% за счёт соотношения $%b^{-1}ab=a^{-1}$% в группе диэдра, из которого следует $%b^{-1}a^xb=a^{-x}$%. Далее, $%\phi_k(a^x)\phi_k(ba^y)=a^xba^{y+k}=ba^{-x}a^{y+k}=\phi_k(a^x)\phi_k(ba^y)$%. Аналогично проверяется, что $%\phi_k(ba^xba^y)=\phi_k(ba^x)\phi_k(ba^y)$%, то есть перед нами автоморфизм. Все эти автоморфизмы и образуют упомянутое выше ядро, причём $%\phi_k\circ\phi_l=\phi_{k+l}$%, то есть они образуют подгруппу в $%{Aut}(D_n)$%, изоморфную $%\mathbb Z_n$%. Отсюда следует, что порядок группы автоморфизмов группы диэдра равен произведению порядков групп $%\mathbb Z_n$% и $%{\rm Aut}(\mathbb Z_n)$%.

Рассмотрим естественное действие $%{\rm Aut}(\mathbb Z_n)$% на $%\mathbb Z_n$%. Ему соответствует полупрямое произведение этих групп. В группе $%{\rm Aut}(D_n)$% у нас уже есть подгруппа, изоморфная $%\mathbb Z_n$%, состоящая из автоморфизмов вида $%\phi_k$%, а также подгруппа, изоморфная $%{\rm Aut}\mathbb Z_n$%, которая на степенях $%a$% действует как автоморфизм циклической группы, и элемент $%b$% оставляет на месте. Этим однозначно задаётся автоморфизм. Он задаётся образом элемента $%a$%, и можно положить $%\psi_m(a)=a^m$%, где $%m\in\mathbb Z_n^{\ast}$% -- число, взаимно простое с $%n$%. Действие сопряжениями элементов вида $%\psi_m$% на элементах нормальной подгруппы, состоящей из всех $%\phi_k$%, задаётся формулой $%\phi_k^{\psi_m}=\phi_{km}$%, поскольку элемент $%ba^x$% при суперпозиции $%\psi_m^{-1}\circ\phi_k\circ\psi_m$%, осуществляемой слева направо, даёт $%ba^{x+km}$%, а степени $%a$% остаются на месте. Это даёт представление группы $%{\rm Aut}(D_n)$% в виде полупрямого произведения двух своих подгрупп, где $%{\rm Aut}(\mathbb Z_n)\cong\mathbb Z_n^{\ast}$% действует справа на аддитивной группе $%\mathbb Z_n$% по правилу $%k\mapsto km$%.

ссылка

отвечен 19 Дек '16 13:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,598
×1,040
×453
×245

задан
18 Дек '16 17:11

показан
581 раз

обновлен
19 Дек '16 13:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru