Сколько нормальных подгрупп содержит свободная группа F_2, rk F_2 = 2, фактор-группы по которым изоморфны S_3.

задан 19 Дек '16 0:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%a$%, $%b$% -- базис свободной группы ранга 2. Предположим, что $%\mathbb F_2/N\cong S_3$%, где $%N$% -- нормальная подгруппа. Образы базисных элементов порождают $%S_3$%. Это либо две различных транспозиции, либо тройной цикл и транспозиция в том или другом порядке.

Если это две транспозиции, то их произведение является тройным циклом, и тогда $%a^2,b^2,(ab)^3\in N$%. Легко проверить, что $%N$% совпадает с нормальным замыканием $%N_1$% этих трёх элементов. Действительно, индекс $%N_1$% не меньше 6, так как $%N_1\le N$%. С другой стороны, он не больше 6, так как по модулю $%N_1$% любой элемент эквивалентен одному из слов списка $%1$%, $%a$%, $%b$%, $%ab$%, $%ba$%, $%aba$%, что следует из вида соотношений.

Теперь пусть $%a$% переходит в тройной цикл, а $%b$% в транспозицию. Тогда $%a^3,b^2,(ab)^2\in N$%. Обозначим нормальное замыкание этих трёх элементов через $%N_2$%. В этом случае $%N=N_2$%, поскольку по модулю $%N_2$% любое слово эквивалентно одному из шести: $%1$%, $%a$%, $%a^2$%, $%b$%, $%ba$%, $%ba^2$%.

Третий случай, когда $%a$% переходит в транспозицию, и $%b$% в тройной цикл, даёт нормальное замыкание $%N_3$% элементов $%a^2$%, $%b^3$%, $%(ba)^2$%, и $%N=N_3$%. Легко видеть, что все три нормальные подгруппы $%N_1$%, $%N_2$%, $%N_3$% попарно различны, то есть нормальных подгрупп имеется ровно три.

ссылка

отвечен 19 Дек '16 3:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,036
×652

задан
19 Дек '16 0:49

показан
268 раз

обновлен
19 Дек '16 3:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru