Корни уравнения $%x^{2}-2x+lg2=0$% нужно найти с 4 верными знаками. С каким минимальным числом верных знаков нужно взять $%lg2$%?

задан 22 Дек '16 17:32

изменен 22 Дек '16 22:15

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%(x-1)^2=1-\lg2$%; $%|x-1|=\sqrt{1-\lg2}$%.

Для функции $%f(x)=\sqrt{1-x}$% мы имеем $%|f(x)-f(x_0)|=|\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x_0}}$%. Поскольку $%\lg2\approx0,3$%, и мы вычисляем значения функции при близких к нему значениях, в знаменателе получится примерно $%1,67$%. Это довольно грубая оценка, но более точная здесь и не нужна. Понятно, что знаменатель больше единицы, поэтому точности приближения логарифма с 4 знаками после запятой должно хватить ввиду $%|f(x)-f(x_0)| < |x-x_0|$% для интересующих нас значений. Если бы знаменатель оказался большой, то могло хватить и меньшей точности. Если какой-то маленький, могла потребоваться большая точность (например, при извлечении корня 4-й степени из логарифма).

Формально, достаточно и трёх цифр, так как $%\lg2=0,3010299957...$%, то есть приближение $%0,301$% уже даёт требуемую точность. Но здесь мы и 4-ю десятичную цифру берём верную, так как она равна нулю.

Приближённые значения корней уравнения здесь будут $%x\approx0,1639$% и $%x\approx1.8360$%.

ссылка

отвечен 22 Дек '16 22:41

Почему?? Понятно, что знаменатель больше единицы, поэтому точности приближения логарифма с 4 знаками после запятой должно хватить ввиду |f(x)−f(x0)|<|x−x0||f(x)−f(x0)|<|x−x0| для интересующих нас значений.

(23 Дек '16 14:12) PandaChka

@PandaChka: из неравенства следует, что точность приближения по x гарантирует как минимум такую же точность приближения по y=f(x).

(23 Дек '16 15:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×129
×14

задан
22 Дек '16 17:32

показан
651 раз

обновлен
23 Дек '16 15:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru