Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях.

задан 22 Дек '16 22:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

Спроектируем ромб и эллипс так, чтобы эллипс стал окружностью. Ромб перейдёт в описанный параллелограмм. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Отсюда следует, что он является ромбом.

Диагонали ромба в проекции перпендикулярны. Поэтому они при обратном преобразовании переходят в сопряжённые диаметры эллипса. Но они, будучи диагоналями ромба, перпендикулярны. Такой случай для сопряжённых диаметров возможен лишь тогда, когда это оси эллипса.

Обосновать последнее можно так: если эллипс не есть окружность, и задан уравнением $%(\frac{x}a)^2+(\frac{y}b)^2=1$% при $%a\ne b$%, то радиус-вектор точки $%(x,y)$% на кривой и вектор нормали $%(\frac{x}a,\frac{y}b)$% сонаправлены лишь при $%x=0$% или $%y=0$%, что соответствует осям. Перпендикулярность же сопряжённых диаметров означает, что радиус-вектор перпендикулярен касательной и сонаправлен нормали.

ссылка

отвечен 22 Дек '16 22:52

А можно было рассмотреть две пары параллельных касательных к эллипсу и найти расстояния между параллельными прямыми каждой пары. Затем говорим, что ромб у нас получается только в том случае, если эти расстояния равны? Будет ли отсюда следовать требуемое в задаче??

(22 Дек '16 23:06) Jenya

@Jenya: эллипс -- кривая не слишком сложная, поэтому, конечно, можно подсчитать и расстояния, и всё прочее. Но в таких случаях более предпочтительным представляются способы, не апеллирующие к вычислениям.

(22 Дек '16 23:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×777
×25
×11

задан
22 Дек '16 22:32

показан
462 раза

обновлен
22 Дек '16 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru