|
Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса, лежат на его осях. задан 22 Дек '16 22:32 
Jenya |
|
Спроектируем ромб и эллипс так, чтобы эллипс стал окружностью. Ромб перейдёт в описанный параллелограмм. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Отсюда следует, что он является ромбом. Диагонали ромба в проекции перпендикулярны. Поэтому они при обратном преобразовании переходят в сопряжённые диаметры эллипса. Но они, будучи диагоналями ромба, перпендикулярны. Такой случай для сопряжённых диаметров возможен лишь тогда, когда это оси эллипса. Обосновать последнее можно так: если эллипс не есть окружность, и задан уравнением $%(\frac{x}a)^2+(\frac{y}b)^2=1$% при $%a\ne b$%, то радиус-вектор точки $%(x,y)$% на кривой и вектор нормали $%(\frac{x}a,\frac{y}b)$% сонаправлены лишь при $%x=0$% или $%y=0$%, что соответствует осям. Перпендикулярность же сопряжённых диаметров означает, что радиус-вектор перпендикулярен касательной и сонаправлен нормали. отвечен 22 Дек '16 22:52 
falcao А можно было рассмотреть две пары параллельных касательных к эллипсу и найти расстояния между параллельными прямыми каждой пары. Затем говорим, что ромб у нас получается только в том случае, если эти расстояния равны? Будет ли отсюда следовать требуемое в задаче??
(22 Дек '16 23:06)
Jenya
|