Доказать, что группа Q/Z является прямым произведением групп U_p∞, где p-простое.

задан 23 Дек '16 3:17

10|600 символов нужно символов осталось
0

В основе здесь лежит такой теоретико-числовой факт. Пусть натуральные числа $%m$% и $%n$% взаимно просты. Тогда дробь $%\frac1{mn}$% можно представить в виде суммы дробей со знаменателями $%m$% и $%n$%. Действительно, согласно известной лемме, существуют целые $%u$%, $%v$% такие, что $%1=mu+nv$%. Отсюда $%\frac1{mn}=\frac{v}m+\frac{u}n$%.

Применяя этот факт несколько раз, получаем, что для любого натурального $%N$%, имеющего каноническое разложение $%N=p_1^{k_1}...p_r^{k_r}$%, существует представление вида $%\frac1N=\frac{A_1}{p_1^{k_1}}+\cdots+\frac{A_r}{p_r^{k_r}}$%, где все числители -- целые числа.

Если имеются два таких разложения с числителями вида $%A_i$% и $%B_i$%, то имеет место равенство $%\frac{A_1-B_1}{p_1^{k_1}}+\cdots+\frac{A_r-B_r}{p_r^{k_r}}=0$%. Утверждается, что все слагаемые в этом разложении целые. Действительно, если предположить, что $%\frac{A_i-B_i}{p_i^{k_i}}$% не целое, то оно останется таким после домножения на $%N/p_i^{k_i}$%, а все остальные слагаемые станут целыми, что приводит к противоречию.

Теперь заметим, что квазициклическая группа $%\mathbb C_{p^{\infty}}$%, состоящая из всех комплексных корней из единицы степени вида $%p^s$%, где $%s$% натуральное, изоморфна факторгруппе $%\mathbb Z[\frac1p]$% по $%\mathbb Z$%. Из представления дробей, описанного выше, следует, что любой смежный класс вида $%q+\mathbb Z$% представим в виде суммы элементов подгрупп в $%\mathbb Q/\mathbb Z$%, изоморфных квазициклическим. Из замечания о единственности представления дроби с точностью до целочисленных слагаемых, следует, что эта сумма прямая.

ссылка

отвечен 23 Дек '16 16:14

изменен 13 Дек '17 20:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,177
×869
×386

задан
23 Дек '16 3:17

показан
479 раз

обновлен
13 Дек '17 20:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru