|
помогите вычислить, желательно с обоснованием 1) $$ \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{n+5}=? $$ 2) $$ x_{1}=2, x_{n+1}=x_{n}(2-3 x_{n}), \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}=? $$ задан 24 Дек '12 20:48 
redfox94 |
|
1) Известен предел (его можно найти в серьезном учебнике по матанализу) $%\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$%, тогда $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n+5}=\lim_{n\rightarrow\infty}\Big(\sqrt[n+5]{n+5}\Big)^{\frac{n+5}{n}}=1.$$ 2) Все члены этой последовательности целые числа отличные от нуля. Если бы последовательность имела конечный предел $%a$%, то было справедливо равенство $%a=a(2-3a)\Leftrightarrow \begin{cases}a=0,\\a=\frac{1}{3}. \end{cases}$% А это значит, что последовательность не имеет конечного предела. Начиная со второго члена последовательности $%x_n<0$%. Далее $%x_{n+1}-x_n=x_n(1-3x_n)<0$% - последовательность не ограничена снизу, а значит имеет предел равный $%-\infty.$% отвечен 24 Дек '12 21:46 
Anatoliy |
|
Первый пример без Лопиталя найти трудно. С Лопиталем же достаточно прологарифмировать, пример примет вид дроби. Второй пример. Все $%x_n$% - четные целые числа Коэффициент при $%x_n$% в рекуррентной формуле - целое нечетное число. Он не может равняться по модулю 1, т.к. $%x_n$% -четное и, следовательно, не равно 1. Но тогда коэффициент при $%x_n$% по модулю не меньше 3. Значит, модули $%x_n$% возрастают не медленнее, чем геометрическая прогрессия. Предел равен бесконечности. отвечен 24 Дек '12 21:50 
DocentI |