Стереометрия

Здесь использован аналог свойства медиан треугольника, которые делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Для высот правильного тетраэдра, которые все пересекаются в одной точке, отношение будет равно 3:1. Это известное свойство, и на него обычно ссылаются без доказательства (считается, что раньше оно уже звучало).

Доказывать можно многими способами. Для случая правильного тетраэдра можно предложить несложное прямое вычисление. Примем длину стороны основания за $%\sqrt3$% для удобства расчётов. Тогда радиус описанной окружности равен 1, а высота тетраэдра равна $%\sqrt2$% по теореме Пифагора. Обозначим $%KM$% через $%x$%. Тогда $%KD=KA=\sqrt2-x$%, и по теореме Пифагора, применённой к треугольнику $%KDM$%, получается $%(\sqrt2-x)^2=x^2+1^2$%. Это даёт после упрощений линейное уравнение, из которого $%x=\frac1{2\sqrt2}$%, то есть 1/4 от длины высоты.

Подобие треугольников отсюда прямо следует (они равнобедренные, угол при вершине общий, отношение длин боковых сторон равно 1/3).

Для произвольного тетраэдра, не обязательно правильного, при помощи векторов можно доказать, что отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести (то есть точками пересечения медиан) противоположных граней, пересекаются в одной точке, делящей эти отрезки в отношении 3:1, считая от вершин.