http://gdz.name/img/otvety/10-11-klass-atanasjan-new/370.jpg

Почему в б) они подобны? почему 1/3?

По условию, AM и DN высоты, K - пересечение. Тетраэдр правильный.

задан 24 Дек '16 16:15

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь использован аналог свойства медиан треугольника, которые делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Для высот правильного тетраэдра, которые все пересекаются в одной точке, отношение будет равно 3:1. Это известное свойство, и на него обычно ссылаются без доказательства (считается, что раньше оно уже звучало).

Доказывать можно многими способами. Для случая правильного тетраэдра можно предложить несложное прямое вычисление. Примем длину стороны основания за $%\sqrt3$% для удобства расчётов. Тогда радиус описанной окружности равен 1, а высота тетраэдра равна $%\sqrt2$% по теореме Пифагора. Обозначим $%KM$% через $%x$%. Тогда $%KD=KA=\sqrt2-x$%, и по теореме Пифагора, применённой к треугольнику $%KDM$%, получается $%(\sqrt2-x)^2=x^2+1^2$%. Это даёт после упрощений линейное уравнение, из которого $%x=\frac1{2\sqrt2}$%, то есть 1/4 от длины высоты.

Подобие треугольников отсюда прямо следует (они равнобедренные, угол при вершине общий, отношение длин боковых сторон равно 1/3).

Для произвольного тетраэдра, не обязательно правильного, при помощи векторов можно доказать, что отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести (то есть точками пересечения медиан) противоположных граней, пересекаются в одной точке, делящей эти отрезки в отношении 3:1, считая от вершин.

ссылка

отвечен 24 Дек '16 17:23

@falcao "для произвольного тетраэдра", а показать можете?)

(25 Дек '16 21:25) pinetorrit

@pinetorrit: да, конечно! Сделайте новый вопрос по этому поводу -- как доказать свойство тетраэдра при помощи векторов. Я охотно написал бы ответ.

(25 Дек '16 21:27) falcao
(25 Дек '16 21:43) pinetorrit
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×467

задан
24 Дек '16 16:15

показан
688 раз

обновлен
25 Дек '16 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru