Как при помощи векторов можно доказать, что отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести (то есть точками пересечения медиан) противоположных граней, пересекаются в одной точке, делящей эти отрезки в отношении 3:1, считая от вершин?

задан 25 Дек '16 21:30

изменен 25 Дек '16 21:31

10|600 символов нужно символов осталось
2

При работе с такими вещами удобно использовать радиус-векторы точек. Фиксируется точка $%O$% произвольным образом (она может быть любой точкой пространства), и для краткости вместо $%\vec{OX}$% пишут $%\vec{X}$%. Я буду писать ещё более кратко, представляя то же в виде $%x$%.

Первое основное равенство: любой вектор равен разности радиус-векторов конца и начала: $%\vec{AB}=b-a$%. Его надо применять постоянно, то есть это "первокирпичик".

Вторая вещь: деление отрезка в заданном отношении. Пусть точка $%Z$% делит отрезок $%XY$% в отношении $%m:n$%, считая от вершины $%X$%. Это значит, что "отношение" сонаправленных векторов $%\vec{XZ}$% и $%\vec{ZY}$% равно $%m:n$%. По правилу пропорции, $%n\vec{XZ}=m\vec{ZY}$%, то есть $%n(z-x)=m(y-z)$%. Теперь $%z$% легко выражается через радиус-векторы концов: $%z=\frac{n}{m+n}\cdot x+\frac{m}{m+n}\cdot y$%. Полезно запомнить эту формулу хотя бы мнемонически.

Для середины отрезка, когда отношение равно 1:1, это даёт $%z=\frac12x+\frac12y$%, то есть полусумму концов. Если отношение 2:1, то $%z=\frac13x+\frac23y$%. Важно не спутать коэффициенты: если сделать рисунок, то видно, что $%Z$% ближе к $%Y$%. Поэтому коэффициент при $%y$% больше, эта точка "весомее". Сумма коэффициентов всегда равна единице.

Теперь рассмотрим треугольник $%ABC$%. Проведём в нём медиану $%AA_1$%, где $%A_1$% -- середина $%BC$%. Тогда $%a_1=\frac12(b+c)$%. Далее, пусть точка $%G$% делит отрезок $%AA_1$% в отношении 2:1. Вычислим её радиус-вектор. Это будет $%g=\frac13a+\frac23a_1=\frac13(a+b+c)$%. Это среднее значение радиус-векторов вершин, и ввиду симметричности, оно не зависит от выбора медианы. Оказывается, что все медианы проходят через $%G$% и делятся этой точкой в отношении 2:1.

Теперь аналог для тетраэдра, что весьма просто. Пусть $%ABCD$% -- тетраэдр, и $%D_1$% -- центр тяжести $%ABC$%. Мы уже знаем, что $%d_1=\frac13(a+b+c)$%. Разделим отрезок $%DD_1$% точкой $%H$% в отношении 3:1. Формула деления отрезка в данном отношении даст $%h=\frac14d+\frac34d_1=\frac14(a+b+c+d)$%. Симметричность выражения показывает, что точка $%H$% общая для всех четырёх линий, и отношение везде будет 3:1. Это центр тяжести тетраэдра.

ссылка

отвечен 25 Дек '16 21:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,918
×507

задан
25 Дек '16 21:30

показан
863 раза

обновлен
25 Дек '16 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru