|
Помогите решить интеграл методом неопределенных коэффициентов: $%\int {dx\over x^4-x^2}$% задан 25 Дек '12 12:46 
strepsilsom |
|
Надо разложить дробь на сумму простейших дробей 1-го и 2-го типов, и х будет четыре:$$\frac{1}{x^4-x^2} = \frac{1}{x^2(x-1)(x+1)}= \frac{A}{x^2}+ \frac{B}{x}+ \frac{C}{x-1}+ \frac{D}{x+1}$$.Затем приводите к общему знаменетелю правую часть равенства. Получите равенство двух дробей с равными знаменателями. Отсюда следует равенство числителей этих дробей.Когда приравняете числителе получите равенство двух многочленов:$$1=A(x-1)(x+1)+Bx(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1)$$.А теперь раскройте скобки, приведите подобные члены.Приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях.Учтите, что в правой части при $%x^3$%, $%x^2$% и $%x$% коэфффициенты равны 0, а при $%x^0$% равен 1.Например,при $%x^2$% коэффициенты в левой и правой частях равенства будут $%0=A+C-D$%Решая систему уравнений найдете неизвестные коэффициенты A,B,C,D. отвечен 25 Дек '12 13:45 
nadyalyutik Для случая линейных множителей лучше не приводить подобные, а подставлять корни знаменателя. Например, подставив в последнее равенство x =1 сразу получаем, что $%C = 1/2$%.
(25 Дек '12 14:06)
DocentI
|
|
Сначала раскладываем на множители знаменатель: $%x^4 - x^2 =x^2(x-1)(x+1)$%. Имеем 4 сомножителя, значит, в разложении на простейшие множители будет 4 слагаемых. Это $%{A\over x} +{B\over x^2} + {C\over x-1} +{D\over x+1}$%. Чтобы найти коэффициенты, приведите сумму к лбщему знаменателю и приравняйте подынтегральному выражению. Дальше можно либо раскрывать скобки и приводит подобные, либо подставлять вместо x какие-нибудь значения. Лучше всего 0, 1 и -1 Результаты этих подстановок можно найти и без приведения к общему знаменателю, мнемоническим приемом, называемым "метод закрывания". отвечен 25 Дек '12 14:00 
DocentI Без приведения к общему знаменателю всё равно не обойтись, т.к. найти коэффициент А без этого не удастся.А значения х, равные 0,1,-1 можно подставлеть и в последнее равенство, тогда сразу получим В,Д.С.
(25 Дек '12 17:27)
nadyalyutik
Если $%B, C, D$% известны, то можно подставить еще какое-нибудь значение прямо в равенство с дробями. Просто я очень не люблю приводить такие большие суммы к общему знаменателю! )))
(29 Дек '12 0:53)
DocentI
|
не тратьте зря время эту задачу этому умнику решили ешо вчера на математическом форуме МГУ
Да-а-а. Еще раз убеждаюсь, что учебные задания решать не надо! Разве что еще какой "умник" забредет. Впрочем, новички не умеют пользоваться поиском и не найдут этого вопроса. Так и канет в e-Лету.