Помогите решить интеграл методом неопределенных коэффициентов:

$%\int {dx\over x^4-x^2}$%

задан 25 Дек '12 12:46

изменен 25 Дек '12 19:56

Deleted's gravatar image


126

не тратьте зря время эту задачу этому умнику решили ешо вчера на математическом форуме МГУ

(25 Дек '12 17:32) нона

Да-а-а. Еще раз убеждаюсь, что учебные задания решать не надо! Разве что еще какой "умник" забредет. Впрочем, новички не умеют пользоваться поиском и не найдут этого вопроса. Так и канет в e-Лету.

(25 Дек '12 19:56) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Надо разложить дробь на сумму простейших дробей 1-го и 2-го типов, и х будет четыре:$$\frac{1}{x^4-x^2} = \frac{1}{x^2(x-1)(x+1)}= \frac{A}{x^2}+ \frac{B}{x}+ \frac{C}{x-1}+ \frac{D}{x+1}$$.Затем приводите к общему знаменетелю правую часть равенства. Получите равенство двух дробей с равными знаменателями. Отсюда следует равенство числителей этих дробей.Когда приравняете числителе получите равенство двух многочленов:$$1=A(x-1)(x+1)+Bx(x-1)(x+1)+Cx^2(x+1)+Dx^2(x-1)$$.А теперь раскройте скобки, приведите подобные члены.Приравняйте коэффициенты при одинаковых степенях.Учтите, что в правой части при $%x^3$%, $%x^2$% и $%x$% коэфффициенты равны 0, а при $%x^0$% равен 1.Например,при $%x^2$% коэффициенты в левой и правой частях равенства будут $%0=A+C-D$%Решая систему уравнений найдете неизвестные коэффициенты A,B,C,D.

ссылка

отвечен 25 Дек '12 13:45

изменен 25 Дек '12 13:47

Для случая линейных множителей лучше не приводить подобные, а подставлять корни знаменателя. Например, подставив в последнее равенство x =1 сразу получаем, что $%C = 1/2$%.

(25 Дек '12 14:06) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сначала раскладываем на множители знаменатель: $%x^4 - x^2 =x^2(x-1)(x+1)$%. Имеем 4 сомножителя, значит, в разложении на простейшие множители будет 4 слагаемых. Это $%{A\over x} +{B\over x^2} + {C\over x-1} +{D\over x+1}$%.

Чтобы найти коэффициенты, приведите сумму к лбщему знаменателю и приравняйте подынтегральному выражению. Дальше можно либо раскрывать скобки и приводит подобные, либо подставлять вместо x какие-нибудь значения. Лучше всего 0, 1 и -1

Результаты этих подстановок можно найти и без приведения к общему знаменателю, мнемоническим приемом, называемым "метод закрывания".
$${1\over x^2(x-1)(x+1)}$$ Закрываем сомножитель, $%x-1$%б а в остальное выражение подставляем $%x = 1$%. Получаем $${1\over x^2(x+1)}|_{x=1}= {1\over 2}$$ Мы получили коэффициент C. Аналогично получаем коэффициенты B и D. Но A так получить не удастся.

ссылка

отвечен 25 Дек '12 14:00

Без приведения к общему знаменателю всё равно не обойтись, т.к. найти коэффициент А без этого не удастся.А значения х, равные 0,1,-1 можно подставлеть и в последнее равенство, тогда сразу получим В,Д.С.

(25 Дек '12 17:27) nadyalyutik

Если $%B, C, D$% известны, то можно подставить еще какое-нибудь значение прямо в равенство с дробями. Просто я очень не люблю приводить такие большие суммы к общему знаменателю! )))

(29 Дек '12 0:53) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
25 Дек '12 12:46

показан
4655 раз

обновлен
29 Дек '12 0:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru