|
Подскажите, как делать задачи вида: Пусть $$ x_{n} \geq 0, y_{n} \geq 0$$ доказать что $$ \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} y_{n} } \leq \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n} } * \overline{ \lim_{n \rightarrow \infty } y_{n} } $$ задан 25 Дек '12 18:31 
redfox94 |
|
Обозначим верхние пределы, входящие в неравенство, через $%a, x, y$% соответственно. Пусть $%a > xy$%. Обозначим $%a-xy =2\varepsilon, \varepsilon > 0$%. Тогда существует подпоследовательность $%n_k$% такая, что $%x_{n_k}y_{n_k}>a-\varepsilon$%. C другой стороны, $%x_n < x + \delta, y_n < y + \delta$% начиная с некоторого n. Значит, для достаточно больших k $%x_{n_k}y_{n_k}< xy +\delta(x + y) +\delta^2$%. Можно подобрать $%\delta$% так, чтобы $%\delta(x + y) +\delta^2 < \varepsilon$%, тогда $%x_{n_k}y_{n_k}< xy + \varepsilon = a -\varepsilon$%. Противоречие. отвечен 25 Дек '12 20:20 
DocentI С подбором $%\delta$% как-то все просто?
(26 Дек '12 14:23)
Anatoliy
$%\delta = \min(1, {\varepsilon\over 1 + x + y})$%. Вполне конечное число, так как $%x\ge 0, y\ge 0$%
(26 Дек '12 23:23)
DocentI
У Вас $%\delta (\varepsilon,x,y )$% (определяется квадратичным неравенством). И почему подпоследовательности, которые в произведении будут вести себя по отдельности так, как это указано в решении?
(26 Дек '12 23:45)
Anatoliy
Ну и что, что квадратичным? Это часто бывает. Его надо линеаризовать. Пусть $%\delta < 1$%, тогда $%\delta(x + y + \delta) < \delta(x + y +1)$%. . Если последнее выражение меньше $%\varepsilon$%, то и первое также. Насчет отдельных последовательностей не поняла. Ведь $%x, y$% - верхние пределы, так что все члены последовательности, начиная с некоторого, не превышают $%x + \delta$% (соотв. $%y + \delta$%)
(27 Дек '12 0:37)
DocentI
Тогда все хорошо, доказываемое выполняется. Мы же доказывали от противного, предполагали, что xy>a
(27 Дек '12 12:42)
DocentI
|
|
Пусть $%a_{n.m}$% - подпоследовательность последовательности $%a_n$%, тогда очевидно $$\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n\ge\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_{n.m}.$$ Далее, если $%x_{n}=0$% или $%y_{n}=0$% при всех $%n$%, неравенство выполняется, поэтому будем считать, что $%x_{n}>0,n>N.$% Пусть $$(1)\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}(x_n\cdot y_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n.m}\cdot y_{n.m});(2)\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_{n.m}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n.m.k}.$$ Далее $$(3)\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_{n}\cdot\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}y_{n}\ge\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}x_{n.m}\cdot\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}y_{n.m}\ge\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n.m.k}\cdot\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}y_{n.m.k};$$$$(4)\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n.m}\cdot y_{n.m})=\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n.m.k}\cdot y_{n.m.k}).$$ Т.к. существуют пределы $$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n.m.k}>0,\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n.m.k}\cdot y_{n.m.k}),$$ то существует предел $$(5)\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n.m.k}=\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}y_{n.m.k},$$ причем $$(6)\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n.m.k}\cdot y_{n.m.k})=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n.m.k}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n.m.k}.$$ Из $$\large (1),(3),(5),(6)$$ следует требуемое неравенство. отвечен 26 Дек '12 14:11 
Anatoliy |