|
Очень необычное дифференциальное уравнение, которое не могу взять уже 3-ий день. Собственной персоной: y'=x+x^3/y. задан 27 Дек '16 20:34 
Warholk |
|
Замена $%y=x^2z$%, где $%z(x)$% - новая искомая функция, приводит уравнение к виду $$ xz'+2z=1+\frac{1}{z}, $$ что является уравнением с разделяющимися переменными... отвечен 27 Дек '16 21:26 
all_exist Эк оно просто как! А я какой-то "окольный" путь нашёл. Правда, интеграл тут несложный, хотя потом "призрак Кардано" как-то всё равно появляется в решении общего вида.
(27 Дек '16 22:06)
falcao
|
|
Вот когда-то я делал подобный пример (Мы не ищем легких путей). Я здесь тоже дошел таким же образом до второго листа решения. Потом чего-то поленился и посмотрел свои записи отвечен 27 Дек '16 22:01 
epimkin @epimkin, может я где-то накосячил в своём решении "на коленке"... но у меня в ответе в скобках стоят знаки наоборот - в первой минус,а во второй плюс...
(27 Дек '16 22:21)
all_exist
@all_exist, так пример-то в ответе другой(подобный). Это когда-то года 4 назад, от нечего делать или от дурости я много перерешал из Филиппова. В ответе филипповский пример, он зыком перед ху отличается. Этот я делал по подобию и дошёл до : Сх^6=(t-1)^3/(t+1)(t-2)^2, где t=p/x
(27 Дек '16 22:51)
epimkin
пардон... на исходник не обратил внимание...
(27 Дек '16 22:53)
all_exist
Дальше что-то поленился
(27 Дек '16 22:54)
epimkin
|
|
Уравнение весьма "хитрое" оказалось. На всякий случай можно заметить, что $%y=x^2$% будет частным решением. Прежде всего, применим замену $%z=y-\frac12x^2$%. Тогда $%z'(z+\frac12x^2)=x^3$%. Домножим обе части уравнения на $%z-\frac12x^2$%. Получится $%z'(z^2-\frac14x^4)=x^3(z-\frac12x^2)$%. Отсюда $%z'z^2=\frac14x^4z'+x^3z-\frac12x^5=(\frac14x^4z)'-\frac12x^5$%. В правой части находится $%\frac13(z^3)'$%, и после домножения на $%12$% у нас получится $%(4z^3-3x^4z)'=-6x^5$%, и после интегрирования возникает кубическое относительно $%z$% алгебраическое уравнение $%4z^3-3x^4z+x^6+C=0$%, которое решается по формуле Кардано. отвечен 27 Дек '16 21:57 
falcao @falcao, а зачем его решать по формуле Кардано?... сделать обратную замену и всё - получили интегральную запись общего решения...
(27 Дек '16 22:07)
all_exist
@all_exist: согласен, что можно не решать, но тут вот какое дело. Бывает запись интегральной кривой, когда нет даже шансов что-то выразить явно. Даже здесь, если бы уравнение имело пятую степень, то пришлось бы остановиться. Но вообще-то тут лучше всего выглядит зависимость x от z/x^2.
(27 Дек '16 22:28)
falcao
|
|
Не надо переходить в крайности. Наш мир не заканчивается на одной математике. А решение я нашёл и оно верное. Помимо математике ещё есть танцы, спорт, музыка, творчество, деньги и компьютерные игры, музыка и рыбная ловля. Праздники,работа и кухонные блюда. Нужно жить в гармонии с самим собою. отвечен 1 Янв '17 9:24 
artem00 1
@artem00: Вы нашли частное решение. Оно действительно верное. Но есть стандартные постановки задач, где под "решить" понимается нахождение общего решения. Это никакая не "крайность", а норма. Что можно видеть хотя бы по ответам к задачникам. Представьте себе, что я на уроке буду решать квадратное уравнение типа x^2+5x-6=0. Если я укажу x=1 и этим ограничусь, учитель поставить "двойку". После этого можно долго рассуждать про рыбную ловлю и гармонию, но это не поможет.
(1 Янв '17 11:47)
falcao
|
@Warholk, Ну, и что за галиматья в топике образовалась?... (((
@Warholk: нельзя убирать условия уже решённых задач. Люди для Вас старались, решали, а Вы портите то, что они сделали.
Я возвращаю условие на место, и просьба больше так не хулиганить.