Очень необычное дифференциальное уравнение, которое не могу взять уже 3-ий день. Собственной персоной: y'=x+x^3/y.

задан 27 Дек '16 20:34

возвращен 28 Дек '16 1:39

falcao's gravatar image


251k23650

1

@Warholk, Ну, и что за галиматья в топике образовалась?... (((

(28 Дек '16 1:34) all_exist

@Warholk: нельзя убирать условия уже решённых задач. Люди для Вас старались, решали, а Вы портите то, что они сделали.

Я возвращаю условие на место, и просьба больше так не хулиганить.

(28 Дек '16 1:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Замена $%y=x^2z$%, где $%z(x)$% - новая искомая функция, приводит уравнение к виду $$ xz'+2z=1+\frac{1}{z}, $$ что является уравнением с разделяющимися переменными...

ссылка

отвечен 27 Дек '16 21:26

Эк оно просто как! А я какой-то "окольный" путь нашёл. Правда, интеграл тут несложный, хотя потом "призрак Кардано" как-то всё равно появляется в решении общего вида.

(27 Дек '16 22:06) falcao

@falcao, А я какой-то "окольный" путь нашёл. - "Отважные герои всегда идут в обход" (с) ... ))) ... у меня сперва мелькнула мысль про метод введения параметра... но я её придушил в зародыше... :D

(27 Дек '16 22:25) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

alt text

Вот когда-то я делал подобный пример (Мы не ищем легких путей). Я здесь тоже дошел таким же образом до второго листа решения. Потом чего-то поленился и посмотрел свои записи

ссылка

отвечен 27 Дек '16 22:01

изменен 27 Дек '16 22:04

@epimkin, может я где-то накосячил в своём решении "на коленке"... но у меня в ответе в скобках стоят знаки наоборот - в первой минус,а во второй плюс...

(27 Дек '16 22:21) all_exist

@all_exist, так пример-то в ответе другой(подобный). Это когда-то года 4 назад, от нечего делать или от дурости я много перерешал из Филиппова. В ответе филипповский пример, он зыком перед ху отличается. Этот я делал по подобию и дошёл до : Сх^6=(t-1)^3/(t+1)(t-2)^2, где t=p/x

(27 Дек '16 22:51) epimkin

пардон... на исходник не обратил внимание...

(27 Дек '16 22:53) all_exist

Дальше что-то поленился

(27 Дек '16 22:54) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение весьма "хитрое" оказалось. На всякий случай можно заметить, что $%y=x^2$% будет частным решением.

Прежде всего, применим замену $%z=y-\frac12x^2$%. Тогда $%z'(z+\frac12x^2)=x^3$%.

Домножим обе части уравнения на $%z-\frac12x^2$%. Получится $%z'(z^2-\frac14x^4)=x^3(z-\frac12x^2)$%. Отсюда $%z'z^2=\frac14x^4z'+x^3z-\frac12x^5=(\frac14x^4z)'-\frac12x^5$%.

В правой части находится $%\frac13(z^3)'$%, и после домножения на $%12$% у нас получится $%(4z^3-3x^4z)'=-6x^5$%, и после интегрирования возникает кубическое относительно $%z$% алгебраическое уравнение $%4z^3-3x^4z+x^6+C=0$%, которое решается по формуле Кардано.

ссылка

отвечен 27 Дек '16 21:57

@falcao, а зачем его решать по формуле Кардано?... сделать обратную замену и всё - получили интегральную запись общего решения...

(27 Дек '16 22:07) all_exist

@all_exist: согласен, что можно не решать, но тут вот какое дело. Бывает запись интегральной кривой, когда нет даже шансов что-то выразить явно. Даже здесь, если бы уравнение имело пятую степень, то пришлось бы остановиться. Но вообще-то тут лучше всего выглядит зависимость x от z/x^2.

(27 Дек '16 22:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Очевидным образом видно что функция x^2

Проверяем y'=x+x^3/y.

2x = x+x^3/x^2=x+x=2x

ссылка

отвечен 1 Янв '17 1:54

@artem00: это одно частное решение, оно подходит. Но решить уравнение означает найти все его решения, и их довольно много.

(1 Янв '17 1:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
-1

Не надо переходить в крайности. Наш мир не заканчивается на одной математике. А решение я нашёл и оно верное.

Помимо математике ещё есть танцы, спорт, музыка, творчество, деньги и компьютерные игры, музыка и рыбная ловля.

Праздники,работа и кухонные блюда.

Нужно жить в гармонии с самим собою.

ссылка

отвечен 1 Янв '17 9:24

изменен 1 Янв '17 9:27

1

@artem00: Вы нашли частное решение. Оно действительно верное. Но есть стандартные постановки задач, где под "решить" понимается нахождение общего решения. Это никакая не "крайность", а норма. Что можно видеть хотя бы по ответам к задачникам.

Представьте себе, что я на уроке буду решать квадратное уравнение типа x^2+5x-6=0. Если я укажу x=1 и этим ограничусь, учитель поставить "двойку". После этого можно долго рассуждать про рыбную ловлю и гармонию, но это не поможет.

(1 Янв '17 11:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,590
×1,850
×1,051
×102
×64

задан
27 Дек '16 20:34

показан
1268 раз

обновлен
1 Янв '17 11:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru