|
Обычно если какое-то утверждение доказывается индукцией по n, то оно распространяется на все натуральные n вплоть до бесконечности. Почему тогда не верно следующее доказательство: Пусть задана бесконечная последовательность отрезков: $%I_n$% где $%n\in\mathbb{N}$%. Докажем что объединение этих отрезков замкнуто (ошибочное утверждение). Один отрезок замкнут. Пусть теперь объединение всех отрезков с первого по $%m$%-ый - замкнуто. Ясно что тогда и объединение всех отрезков с первого по $%m+1$%-ый - замкнуто. Значит по индукции объединение замкнуто для всех $%n\in\mathbb{N}$% . Вот ещё похожее утверждение не знаю как его доказать. Докажите что объединение счетной системы замкнутых, не пересекающихся множеств не является отрезком. задан 2 Янв '17 17:44 
abc |
|
Фраза "объединение замкнуто для всех $%n\in\mathbb N$%" означает, что для всякого натурального $%n$% объединение $%I_1\cup\cdots\cup I_n$% замкнуто. Это так и есть. Для каждого конкретного $%n$% здесь берётся объединение $%n$% множеств. Число членов может быть любым, но оно в каждом случае конечно. Перейти к объединению всех членов мы на основании этого никаким образом не можем. Такого же типа рассуждение можно было проделать на примере того, что множество $%\{1,2,...,n\}$% конечно для любого $%n$%. Понятно, что отсюда никак не следует конечность множества натуральных чисел. Что касается задачи об отрезке, то в условии надо исключить тривиальную возможность, когда одно из множеств равно всему отрезку, а остальные пусты. Эта задача уже была здесь. отвечен 2 Янв '17 18:58 
falcao |