Обычно если какое-то утверждение доказывается индукцией по n, то оно распространяется на все натуральные n вплоть до бесконечности. Почему тогда не верно следующее доказательство:

Пусть задана бесконечная последовательность отрезков: $%I_n$% где $%n\in\mathbb{N}$%. Докажем что объединение этих отрезков замкнуто (ошибочное утверждение).

Один отрезок замкнут.

Пусть теперь объединение всех отрезков с первого по $%m$%-ый - замкнуто. Ясно что тогда и объединение всех отрезков с первого по $%m+1$%-ый - замкнуто.

Значит по индукции объединение замкнуто для всех $%n\in\mathbb{N}$% .

Вот ещё похожее утверждение не знаю как его доказать. Докажите что объединение счетной системы замкнутых, не пересекающихся множеств не является отрезком.

задан 2 Янв '17 17:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Фраза "объединение замкнуто для всех $%n\in\mathbb N$%" означает, что для всякого натурального $%n$% объединение $%I_1\cup\cdots\cup I_n$% замкнуто. Это так и есть. Для каждого конкретного $%n$% здесь берётся объединение $%n$% множеств. Число членов может быть любым, но оно в каждом случае конечно. Перейти к объединению всех членов мы на основании этого никаким образом не можем.

Такого же типа рассуждение можно было проделать на примере того, что множество $%\{1,2,...,n\}$% конечно для любого $%n$%. Понятно, что отсюда никак не следует конечность множества натуральных чисел.

Что касается задачи об отрезке, то в условии надо исключить тривиальную возможность, когда одно из множеств равно всему отрезку, а остальные пусты. Эта задача уже была здесь.

ссылка

отвечен 2 Янв '17 18:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×337
×80

задан
2 Янв '17 17:44

показан
392 раза

обновлен
2 Янв '17 18:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru