В треугольнике BMW, где сторона BW больше стороны BM, биссектриса угла B пересекает MW в точке E. Обозначим через O середину стороны MW. Точка S — основание высоты из точки M на отрезок BE. Прямая MS пересекает отрезок BO в точке Q. Докажите, что EQ параллелен BM.

задан 4 Янв '17 14:19

10|600 символов нужно символов осталось
6

Картинка тут.

$$\angle MSL=\angle MOL = 90^o \Rightarrow MSOL \in \omega \Rightarrow$$

$$\angle MON =\angle MWB \Rightarrow BW \parallel NO\Rightarrow MN=BN$$

Применяя т. Чевы к $%\triangle MBO$% :

$$\dfrac{ME}{EO}\cdot \dfrac{OQ}{QB}\cdot \dfrac{BN}{NM}=1 \Rightarrow \dfrac{OE}{OQ}=\dfrac{ME}{BQ}\Rightarrow EQ \parallel MB$$

$$$$

ссылка

отвечен 4 Янв '17 23:47

10|600 символов нужно символов осталось
5

В голову пришёл кондовый метод координат... (хотя решение можно изложить и без него)...

alt text

Расположим систему координат как показано на рисунке... Тогда вершины треугольника имеют координаты $$ B(-a;0), \quad M(0;ka),\quad W(2c;-k(2c+a)), $$ где $%k$% - тангенс угла $%MBE=WBE$% ... $%a,\,c$% - положительные величины...

При этом середина стороны $%MW$% будет иметь координаты $%O(c;-kc)$% ... (что само по себе интересно, поскольку прямая, проходящая через проекции этой точки на оси - точки $%H$% и $%F$%, тоже будет параллельной к стороне $%BM$%) ...

Из подобия треугольников, например, $%MSE$% и $%MFO$%... или написав уравнение $%MW$%, находим, что точка $%E$% имеет абсциссу $%x_E=\dfrac{ac}{a+c}$% ...

Затем опять же из подобия треугольников, например, $%BSQ$% и $%BHO$%... или написав уравнение $%BO$%, находим, что точка $%Q$% имеет ординату $%y_Q=\dfrac{-kac}{a+c}$% ...

Что и требовалось показать...

ссылка

отвечен 5 Янв '17 0:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,697
×1,114
×730
×200

задан
4 Янв '17 14:19

показан
1423 раза

обновлен
5 Янв '17 0:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru